הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "=סכומי טורים= '''תזכורת:''' (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המת...") |
(←דוגמה 1) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==דוגמה 1== | ==דוגמה 1== | ||
# הוכח שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n</math>. | # הוכח שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n</math>. | ||
− | # חשב <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>. בנוסף ידוע שמתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}</math> (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל במ"ש בקטע סגור מהצורה <math>[-a,a]</math>. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> (עבור הקטע הסגור הנ"ל <math>[-a,a]</math>) אם <math>0<a<1</math> ברור ש-<math>\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula</math></math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש. | + | # חשב <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>. בנוסף ידוע שמתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}</math> (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה <math>[-a,a]</math>. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> (עבור הקטע הסגור הנ"ל <math>[-a,a]</math>) אם <math>0<a<1</math> ברור ש-<math>\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula</math></math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש. |
יהי <math>t\in(-1,1)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math> שם <math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-<math>\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n</math> | יהי <math>t\in(-1,1)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math> שם <math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-<math>\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n</math> |
גרסה מ־22:13, 29 במאי 2011
תוכן עניינים
סכומי טורים
תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-, אז f אינטגרבילית ומתקיים . באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב- המתכנסת בנקודה אחת ל-. אם סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב- אז גזירה . באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה לדוגמה: יהי טור של פונקציות רציפות ב- המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום אז טור המספרים מתכנס ומתקיים .
דוגמה 1
- הוכח שלכל מתקיים .
- חשב . פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-. בנוסף ידוע שמתקיים (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה . נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס (עבור הקטע הסגור הנ"ל ) אם ברור ש-</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.
יהי , נסתכל על הקטע מהצורה שם (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-
ב. ברור כי נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי)
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו פונציות גזירות רציפות ב- כך שהטור מתכנס ב- ל- אם טור הנגזרות מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים .
דוגמה 2
. חשבו את סכום הטור עבור .
פתרון
נתייחס לטור הבא שידוע שמתכנס עבור .
יש להראות כי הטור מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.
.
הראנו בשאלת הכנה כי הטור מתכנס במ"ש, נשאר לעשות אינטגרציה . עד כאן . צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי . נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.
דוגמה 2.5 (המטרה להסביר את דוגמה 2)
מהו סכום הטור עבור .
פתרון
נשים לב שאם נגדיר ז"א . אם . נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש- יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של וירשטרס. אם אז יש שם מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\left|\frac n{a^{n+1}} . הטור טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).
נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה. לסיכום .
טור חזקות
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא ןקצוות הטור נבדוק בנפרד.
דוגמה 3
מצא תחום התכנסות של הטור
פתרון
אכן מדובר על חזקות כי ולכן ואז רדיוס ההתכנסות הוא . ז"א נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות . עבור : שמתבדר כי ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר.
עבור : ברור שהטור מתכנס לפי טור לייבניץ. לסיכום תחום ההתכנסות הוא .
דוגמה 4
חשבו את תחום ההתכנסות של . נשים לב כי הטור הנתון לא טור חזקות. "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקור. נסמן ונגדיר . ברגע זה נקבל את הטור .נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-. ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא . ועבור הטור הוא גם אינסוף כי זוגי לכל .