הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11"
מ (←מבחן ה-M של ווירשטראס) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= | =התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= | ||
==משפט דיני== | ==משפט דיני== | ||
− | + | <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>\{f_n(x)\}</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>. | |
===דוגמה 1=== | ===דוגמה 1=== | ||
בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע | בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע | ||
− | + | <ol><li><math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right]</math> | |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | + | נשים לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>, שרציפה. כמו כן ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}</li> | |
− | + | <li><math>(0,\pi)</math> | |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math>. {{משל}} | + | נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math> ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} |
+ | </li></ol> | ||
==דוגמה 2== | ==דוגמה 2== | ||
− | קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\ | + | קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\tfrac34,\tfrac34\right]</math>. |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נשתמש | + | נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math>. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}} |
− | ==דוגמה 3 | + | ==דוגמה 3== |
הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>. | הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>. | + | נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>). |
− | נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב | + | נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב לכל <math>a\le x\le b</math> ועבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>. מכאן ש-<math>g\circ f_n\to g\circ f</math> במ"ש. {{משל}} |
==מבחן ה-M של ווירשטראס== | ==מבחן ה-M של ווירשטראס== | ||
שורה 25: | שורה 26: | ||
==דוגמה 4== | ==דוגמה 4== | ||
הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>. | הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>. | ||
+ | |||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> | + | נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ולכן <math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=-2<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>f(0)=f(1)=0</math>. נסיק ש-<math>x=\frac12</math> היא נקודת קיצון גלובלית וכן-<math>f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש. {{משל}} |
− | + | ||
− | + | ==אינטגרציה איבר-איבר בסדרות== | |
+ | תהי <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>. | ||
===דוגמה 5=== | ===דוגמה 5=== | ||
− | קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר | + | קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math> ב-<math>[0,1]</math>, והאם <math>f_n\to f</math> במ"ש. |
+ | ====פתרון==== | ||
+ | נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש: | ||
+ | ''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} | ||
− | + | ''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}} | |
− | + | ||
− | + |
גרסה מ־14:14, 28 ביוני 2011
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט דיני
סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף סדרה עולה לכל . אזי מתכנסת במ"ש ב-.
דוגמה 1
בדוק הכנסות עבור הסדרה בקטע
-
פתרון
נשים לב שעבור x בקטע . קל לראות גם שפונקצית הגבול היא , שרציפה. כמו כן ברור כי רציפות ובקטע מתקיים . לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. -
פתרון
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול ומכיוון ש- ההתכנסות אינה במ"ש.
דוגמה 2
קבעו אם הטור מתכנס ב-.
פתרון
נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: . לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 3
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן פונקציה רציפה אז היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול .
פתרון
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל יש כך שאם אז . בנוסף נתון ש- מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל מתקיים (בפרט אפשר לבחור ). נשים לב ש- מוגדרת היטב לכל ועבור מתקיים . מכאן ש- במ"ש.
מבחן ה-M של ווירשטראס
יהי טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים כך שלכל n גדול מספיק ולכל מתקיים אז מתכנס במ"ש ב-I.
דוגמה 4
הוכח כי מתכנס במ"ש ב-.
פתרון
נרשום את הטור כ- נסמן ונחסום אותה: ולכן , שהיא מקסימום כי . נותר לבדוק את קצוות הקטע: . נסיק ש- היא נקודת קיצון גלובלית וכן-. מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור מתכנס במ"ש.
אינטגרציה איבר-איבר בסדרות
תהי סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים .
דוגמה 5
קבע האם מתכנס כאשר ב-, והאם במ"ש.
פתרון
נציב ואז , כלומר אכן מתכנס. נותר לבדוק אם מתכנסת במ"ש: דרך 1: (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש.
דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-: ונקבל . לכן ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש.