הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11"
מ (←פתרון) |
|||
שורה 38: | שורה 38: | ||
נשים לב שאם נגדיר<math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math> אזי <math>f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}}</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1}</math>. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש. | נשים לב שאם נגדיר<math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math> אזי <math>f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}}</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1}</math>. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש. | ||
− | נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם <math>x>1</math> אז יש <math>1<a<x</math> | + | נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם <math>x>1</math> אז יש <math>1<a<x</math> ולכן <math>\left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\frac n{a^{n+1}}</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}}</math> טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי). |
נסיק שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}}</math> מתכנס במ"ש ולכן <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}</math> וגם <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>. לסיכום <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>, ולפיכך <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}=\frac x{(x-1)^2}</math>. {{משל}} | נסיק שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}}</math> מתכנס במ"ש ולכן <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}</math> וגם <math>\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>. לסיכום <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>, ולפיכך <math>\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}=\frac x{(x-1)^2}</math>. {{משל}} |
גרסה מ־14:56, 1 ביולי 2011
תוכן עניינים
סכומי טורים
תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-
, אז f אינטגרבילית ומתקיים
. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות:
סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-
המתכנסת בנקודה אחת לפחות
ל-
. אם
סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-
אז
גזירה
.
באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי טור של פונקציות רציפות ב-
המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום
, אזי טור המספרים מתכנס ומתקיים
.
גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו פונציות גזירות רציפות ב-
כך שהטור
מתכנס ב-
ל-
אם טור הנגזרות
מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים
.
דוגמה 1
- הוכיחו שלכל
מתקיים
.
פתרון
ידוע ש-
עתה יהיוש-
(לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע
ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס:
לכל
. אם
אזי
מתכנס ולכן
מתכנס במ"ש.
ונסתכל על הקטע מהצורה
, שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש ולכן
- חשבו
.
פתרון
נעזר בסעיף 1. ברור כי
נמצא בקטע
, ולכן נציב:
.
דוגמה 2
יטופל בהמשך:
חשבו את סכום הטור עבור
.
פתרון
ראשית נוכיח שהטור מתכנס במ"ש ב-
. יהי
ולכן
לכל
. כמו כן
מתכנס כי
והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשטראס, הטור
מתכנס במ"ש ב-
. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר:
. כמו כן, ברור כי
. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.
דוגמה 3
מהו סכום הטור עבור
?
פתרון
נשים לב שאם נגדיר אזי
. כמו כן
. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-
יתכנס במ"ש.
נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם אז יש
ולכן
. הטור
טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי).
נסיק שהטור מתכנס במ"ש ולכן
וגם
. לסיכום
, ולפיכך
.
טורי חזקות
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא
, והוא מתכנס בהחלט ב-
. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.
דוגמה 4
מצאו את תחום התכנסות של הטור .
פתרון
אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא . לכן רדיוס ההתכנסות הוא
. ז"א כאשר
הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות
. עבור
הטור הוא
, שמתבדר כי הוא גדול מ-
. עבור
ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא
.
דוגמה 5
מצאו את תחום ההתכנסות של .
פתרון
נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר . נקבל את הטור
. נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך לחשב
(ולא סתם
).
ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא
. עבור
הטור הוא
, שגם שואף לאינסוף כי
זוגי לכל
. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא
.