88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הגדרה) |
(←הגדרה) |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
==שדות== | ==שדות== | ||
===הגדרה=== | ===הגדרה=== | ||
קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות: | קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות: | ||
# '''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה) | #'''סגירות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math>. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה) | ||
# '''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math> | #'''קומוטטיביות/חילופיות-''' <math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math> | ||
#'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math> | #'''אסוציאטיביות-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)</math> | ||
#'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math> | #'''קיום איברים נייטרליים-''' קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים <math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a</math>. בנוסף מתקיים ש<math>0\neq 1</math> | ||
#'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי | #'''קיום איבר נגדי לחיבור-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math>. לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי) | ||
#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math> | #'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> | ||
#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | |||
גרסה מ־17:35, 15 ביולי 2011
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]
- אסוציאטיביות- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c) }[/math]
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a }[/math]. בנוסף מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math]
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]. לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math]. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b} }[/math]
- דיסטריביוטיביות/פילוג- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c }[/math]. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור