88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1: הבדלים בין גרסאות בדף
(←הגדרה) |
|||
| שורה 10: | שורה 10: | ||
#'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> | #'''קיום איבר הופכי לכפל-''' לכל איבר a קיים איבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math>. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה <math>a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b}</math> | ||
#'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | #'''דיסטריביוטיביות/פילוג-''' <math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c </math>. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור | ||
===תרגיל=== | |||
יהי שדה <math>\mathbb{F}</math>. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0</math>, כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי. | |||
====פתרון==== | |||
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות. | |||
לפי תכונה (4) מתקיים ש <math>0+0=0</math> | |||
לכן <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)a</math> | |||
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש<math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a</math> (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2)) | |||
לפי תכונה (5) לאיבר <math>0\cdot a \in\mathbb{F}</math> קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל <math>\forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + 0\cdot a + (-(0\cdot a))</math> | |||
גרסה מ־17:52, 15 ביולי 2011
שיעור ראשון
שדות
הגדרה
קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
- סגירות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
- קומוטטיביות/חילופיות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]
- אסוציאטיביות- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c) }[/math]
- קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a }[/math]. בנוסף מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math]
- קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]. לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
- קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math]. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b} }[/math]
- דיסטריביוטיביות/פילוג- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c }[/math]. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור
תרגיל
יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0 }[/math], כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.
פתרון
ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.
לפי תכונה (4) מתקיים ש [math]\displaystyle{ 0+0=0 }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)a }[/math]
לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a }[/math] (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))
לפי תכונה (5) לאיבר [math]\displaystyle{ 0\cdot a \in\mathbb{F} }[/math] קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + 0\cdot a + (-(0\cdot a)) }[/math]