גרסה מ־12:58, 24 ביולי 2011

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

[math]\displaystyle{ c }[/math] הוא קבוע.
[math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות.
כל אחת מהקבוצות הבאות היא קבוצת כל הפונקציות המקיימות תכונה מסויימת בקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math]:

[math]\displaystyle{ C(A) }[/math] היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות ב-[math]\displaystyle{ A }[/math].
[math]\displaystyle{ \mbox{Mo}(A) }[/math] - מונוטוניות.

[math]\displaystyle{ \mbox{MO}(A) }[/math] - מונוטוניות במובן הצר.

[math]\displaystyle{ \mbox{Bo}(A) }[/math] - חסומות.

החסם העליון של פונקציה ב-[math]\displaystyle{ \mbox{Bo}(I) }[/math] הוא [math]\displaystyle{ M }[/math] והתחתון - [math]\displaystyle{ m }[/math].

[math]\displaystyle{ \mbox{Po}(A) }[/math] - אי-שליליות.

[math]\displaystyle{ \mbox{PO}(A) }[/math] - חיוביות.

[math]\displaystyle{ \mbox{INT}(A) }[/math] - אינטגרביליות.

[math]\displaystyle{ \mbox{Int}(A) }[/math] - אינטגרביליות מקומית.

אם קיימת לפונקציה פונקציה קדומה היא תסומן בעזרת האות הגדולה המתאימה (למשל, הפונקציה הקדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math] היא [math]\displaystyle{ F }[/math]).
[math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה [math]\displaystyle{ \{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] של הקטע הנתון כך ש-[math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math].

[math]\displaystyle{ Q }[/math] היא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math].
[math]\displaystyle{ P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} }[/math] היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math].

אינטגרלים

אם [math]\displaystyle{ F }[/math] ו-[math]\displaystyle{ G }[/math] קדומות ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה כלשהי אז קיים [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math].
[math]\displaystyle{ \forall f\in\mbox{Bo}([a,b]):\ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ |Q|=|P|+r }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקבלת מ-[math]\displaystyle{ P }[/math] ע"י הוספת [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודות) ו-[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}([a,b]) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] וכן [math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega }[/math].
לכל חלוקה [math]\displaystyle{ Q }[/math] של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math]), אם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}([a,b]) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}([a,b]) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) }[/math].
נניח ש-[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}([a,b]) }[/math]. [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math].
נניח ש-[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}([a,b]) }[/math]. [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math].

הכללה: אם [math]\displaystyle{ f\in C((a,b))\cap\mbox{Bo}((a,b)) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math].

הכללה להכללה: אם [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]\setminus A)\cap\mbox{Bo}([a,b]) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצה סופית אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Mo}([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math].
נניח ש-[math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\Big(\mbox{INT}([a,c])\cup\mbox{INT}([c,b])\Big) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math], ואם כן אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math].

הכללה: עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] כנ"ל ו-[math]\displaystyle{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b }[/math] (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f }[/math].

אם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math]. יתר על כן, [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P') }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P') }[/math].
הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
לינאריות: [math]\displaystyle{ \forall f,g\in\mbox{INT}([a,b]):\ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].
מונוטוניות: אם [math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g }[/math].

חיוביות: בפרט מתקיים שאם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Po}([a,b]) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge0 }[/math].

הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם [math]\displaystyle{ |f|\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b])\cap\mbox{Bo}([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) }[/math].

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) }[/math].

מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f(x)=M }[/math] (פונקציה קבועה) אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=M(b-a) }[/math].

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,b]) }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ F\in C([a,b]) }[/math] וכן לכל נקודה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ו-[math]\displaystyle{ F'=f }[/math]).
נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a) }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]) }[/math] יש פונקציה קדומה.
אינטגרציה בחלקים: נניח כי [math]\displaystyle{ f',g' }[/math] רציפות. אזי [math]\displaystyle{ \int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx }[/math].

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g }[/math]

שיטת ההצבה: [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c} }[/math].

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x) }[/math]

כל פונקציה רציונלית [math]\displaystyle{ \frac pq }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \deg(p)\lt \deg(q) }[/math] ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים [math]\displaystyle{ \frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A,B,C,x_0\in\mathbb R }[/math] ול-[math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] אין שורשים ממשיים.
נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Po}([a,b]) }[/math] בין [math]\displaystyle{ a }[/math] ל-[math]\displaystyle{ b }[/math] סביב ציר ה-[math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b \pi f^2 }[/math].
הממוצע של [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac1{b-a}\int\limits_a^b f }[/math].
אורך הגרף של [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]) }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx }[/math].
שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של [math]\displaystyle{ f\in C([a,b]) }[/math] סביב ציר ה-[math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx }[/math].
תהינה [math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f+cg\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g }[/math].
תהא [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}([a,\infty)) }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([b,\infty)) }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f }[/math].
[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Mo}_\text{up}([a,\infty)) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ \sup_x f(x)\lt \infty }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x\gt a} f(x) }[/math].
[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty)) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^R f }[/math] חסומים מלעיל, ואם לא אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\infty }[/math].
מבחן ההשוואה: נניח ש-[math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty)) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.
מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{Int}([a,\infty))\cap\mbox{Po}([a,\infty)) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

המבחן האינטגרלי לטורים: תהא [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Po}([k,\infty))\cap\mbox{Mo}_\text{down}([k,\infty))\cap\mbox{Int}([k,\infty)) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כלשהו. אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([k,\infty)) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \sum_{n=k}^\infty f(n) }[/math] מתכנס.

הכללה: בפרט מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n) }[/math].

תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
תהא [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}([a,\infty)) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\gt a:\ \forall x_2\gt x_1\gt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|\lt \varepsilon }[/math].
תהא [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}([a,\infty)) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ |f|\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math].
מבחן דיריכלה: תהא [math]\displaystyle{ f\in C([a,\infty)) }[/math] ונניח שהאינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ b\to\infty }[/math]. כמו כן תהא [math]\displaystyle{ g\in\mbox{Mo}([a,\infty))\cap C^1([a,\infty)) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f\cdot g\in\mbox{INT}([a,\infty)) }[/math].
סכימה בחלקים: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math].
משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_n }[/math] יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-[math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] סדרה מונוטונית כך ש-[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n }[/math] מתכנס.
אם [math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].
עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}((a,b]) }[/math], [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}((a,c]) }[/math], ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f }[/math].
תהי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Mo}((a,b]) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Bo}((a,b]) }[/math].
אם [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}((a,b]) }[/math] אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math].
מבחן ההשוואה: [math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b]) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ g\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math].
מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g\in\mbox{Po}((a,b])\cap\mbox{Int}((a,b]) }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ g\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math].

מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

תהא [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}((a,b]) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a\lt x_1\lt x_2\lt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|\lt \varepsilon }[/math].
תהא [math]\displaystyle{ f\in\mbox{Int}((a,b]) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ |f|\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math] אז [math]\displaystyle{ f\in\mbox{INT}((a,b]) }[/math].