88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 2

יחסים

הגדרה: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A וB הינה אוסף כל הזוגות הסדורים - [math]\displaystyle{ A\times B = \{(a,b)|a\in A \and b\in B\} }[/math]. ההבדל בין זוג סדור לבין קבוצה המכילה זוג איברים היא שהאיברים יכולים להיות שווים בזוג סדור, והסדר שלהם מהותי. כלומר שני האיברים הבאים שונים [math]\displaystyle{ (1,2),(2,1) }[/math] והאיבר הבא הינו זוג חוקי [math]\displaystyle{ (1,1) }[/math].

ניתן להכליל את ההגדרה לעיל לn-יה סדורה - כלומר n איברים מסודרים.

דוגמא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2,3\} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\{a,b\} }[/math] אזי מתקיים [math]\displaystyle{ A\times B =\{(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b)\} }[/math]

ניתן להגדיר זוגות סדורים באמצעות הגדרת הקבוצות בלבד, כפי שנראה בתרגיל הבא:

תרגיל

הוכח/הפרך:

1. [math]\displaystyle{ [(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},b\}=\{\{c\},d\} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ [(a=c)\and(b=d)]\iff \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\} }[/math]

פתרון

1. הפרכה ע"י הדוגמא הנגדית [math]\displaystyle{ a=2,b=\{3\},c=3,d=\{2\} }[/math]

2.

הוכחה: הכיוון משמאל לימין הוא ברור. מימין לשמאל, נניח והקבוצות שוות אזי [math]\displaystyle{ \{a\}=\{c\} }[/math] או ש [math]\displaystyle{ \{a\}=\{c,d\} }[/math].

במקרה הראשון, נובע a=c ובמקרה השני נובע a=c=d, כך או כך a=c. כעת, [math]\displaystyle{ \{a,b\}=\{c,b\}=\{c\} }[/math] או [math]\displaystyle{ \{c,b\}=\{c,d\} }[/math] ונובע משניהם ש b=d.

לכן, ניתן להגדיר זוג סדור על ידי קבוצות בלבד (באופן דומה לכך שכל המתמטיקה פחות או יותר נבנת על קבוצות בלבד).

תרגיל

הוכח שלכל קבוצות A,B,C מתקיים [math]\displaystyle{ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C) }[/math]

פתרון

[math]\displaystyle{ (x,y)\in A\times(B\cap C) \iff (x\in A) \and [(y\in B)\and (y\in C)] \iff [(x\in A)\and(y\in B)] \and [(x\in A)\and(y\in B)] \iff x\in[(A\times B)\cap(A\times C)] }[/math]