לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

שאלות

שאלה

איך מוכיחים שכל מטריצה אלכסונית מעל המרוכבים חופפת למטריצה אלכסונית שיש בה רק את הערכים 0,1. מעל הממשיים, המטריצה חופפת למטריצה עם ערכים 0,1,-1.

תשובה

מאיפה השאלה הזו? אין בה הגיון, איך יכול להיות שמעל הממשיים יש יותר אופציות מאשר מעל המרוכבים?

שאלה

אם x1...xm ע"ע של A. אז מהם הע"ע של A^-1 ושל A^2?

תשובה

תענה על זה בעצמך.

שאלה

יש שאלה שאני לא יודע לפתור: הוכח או הפרך - אם הפולינום האופייני של שתי מטריצות שווה וכן הפולינום המינימלי, אז המטריצות דומות.

תשובה

תעבור על תרגילי הבית והפתרונות. בהקדם. זו פשוט שאלה מהתרגילים.

שאלה

הי חברים מישהו יכול לעזור לי אם השאלה הבאה: יהיT:V→V ה"ל, כך שלכל : v∈

T(v),v> =0> הוכח : T=0.

תשובה

אני אעזור, זה פשוט לא נכון. קח מטריצת סיבוב ב90 מעלות. למעשה, אם תסתכל בשאלה הראשונה של תרגיל 10 תראה שזה נכון לכל אופרטור אנטי סימטרי

ארז - אני מאמין שהתרגיל לקוח מהחוברת של ד"ר צבאן, עמ' 96 תרגיל 1.10 1/2 א':

הוכח שאם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> = <0> (הכוונה לאפס, פשוט שמתי את ה<> כדי שלא ייצא מעוות), אזי T=0.

זה כבר הגיוני. הוקטור היחיד שמאונך לכל הקטורים במרחב הוא אפס. ולכן יוצא שלכל u בהכרח Tu מאונך לכל הוקטורים במרחב ולכן אפס. ולכן T העתקת האפס.

האם אפשר להוכיח את זה בדרך הבאה (?) :

אם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> = <0>, אזי בפרט גם עבור v=Tu, ולכן : <Tu,Tu>=<0>, ולכן לכל u במרחב יתקיים: [math]\displaystyle{ ||Tu||^2 =0 }[/math], בפרט עבור u שונה מאפס, ולכן Tu=0 גורר ש-T=0.

אופס רשמתי את זה לא לגמרי נכון, אני חושב שזה שאלה 1.11 באותו עמוד.. השאלה היא אם יש לך מרחב מכפלה פנימית מעל C עם ה"ל, מ-V ל-V, שמקיימת:T(v),v> =0> לכל v במרחב, ואז צריך להוכיח(ככה כתוב בחוברת!) שזוהי העתקת האפס, ... תודה(:

נו, ומה רע להשתמש ברמז שם?

[math]\displaystyle{ 0=\lt T(v+iu),v+iu\gt =\lt Tv,v\gt +\lt Tiu,iu\gt +\lt Tv,iu\gt +\lt Tiu,v\gt = }[/math]

[math]\displaystyle{ =\lt Tv,iu\gt +\lt iTu,v\gt =-i\lt Tv,u\gt +i\lt Tu,v\gt }[/math]

וגם

[math]\displaystyle{ 0=\lt T(v+u),v+u\gt =\lt Tv,v\gt +\lt Tu,u\gt +\lt Tv,u\gt +\lt Tu,v\gt = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \lt Tv,u\gt +\lt Tu,v\gt }[/math]

משני אלה נובע:

[math]\displaystyle{ \lt Tv,u\gt =\lt Tu,v\gt }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \lt Tv,u\gt =-\lt Tu,v\gt }[/math] ולכן יוצא ש

[math]\displaystyle{ \forall v,u\in V : \lt Tv,u\gt =0 }[/math]

ולפי ההוכחה מלמעלה, זו חייבת להיות העתקת האפס.

שאלה

איך מוכיחים שאם שתי מטריצות דומות אז לכל עע שלהן יש אותו ריבוי גיאומטרי. חשבנו אולי להשתמש בצורת ג'ורדן אבל לא נתון שהפולינום שלהן מתפרק לגורמים לינארים.

תשובה

דבר ראשון, אפשר לעשות צורת ז'רדן מעל המרוכבים, וברור שלע"ע ממשי יהיו רק ו"ע ממשיים.

דבר שני, צריך לזכור שמטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר בין בסיסים. לכן אם תיקח את הו"ע העצמיים של המטריצה, תהפוך את הקואורדינטות שלהם לבסיס המתאים למטריצה ההפיכה (עמודותיה) הכפל בה יהפוך את הקואורדינטות בחזרה לבסיס הסטנדרטי, המטריצה תכפול אותו בע"ע ואז המטריצה ההופכית תחזיר את זה לקואורדינטות החדשות.

עכשיו אם וקטורים הם בת"ל גם הקואורדינטות שלהם לפי בסיס כלשהו בת"ל ולכן תקבל את אותו המימד של המרחב העצמי (כלומר ריבוי גיאומטרי) בעזרת וקטורי הקואורדינטות של הו"ע.

אבל אני יודע שאם לשתי מטריצות יש אותם ו"ע אז יש להן אותם מרחבים עצמיים? אם כן, איך?

תודה.

תחזור על ההגדרה של מרחב עצמי. מרחב עצמי של ע"ע a הוא קבוצת הוקטורים העצמיים של a איחוד עם אפס

ועוד שאלה

בהוכחה של המשפט, שלV מ"ו מעל R יש ת"מ אינווריאנטי ממימד 1 או 2 סימנו את הע"ע המרוכב והו"ע המרוכב לפי ממשי + i מדומה ואז קיבלנו ש: שתי משוואות שמקשרות בין המטריצה, החלקים המדומים\ממשיים של הו"ע והע"ע. איך ממשיכים הלאה? איך זה עוזר?

תשובה

מעל המרוכבים קיים ל[math]\displaystyle{ A }[/math] וקטור עצמי אחד לפחות עם ע"ע אחד לפחות תמיד. [תרגיל: האם יכול להיות שקיים רק אחד?]

נסמן [math]\displaystyle{ x=u+iv }[/math] ו"ע כאשר [math]\displaystyle{ u,v }[/math] וקטורים ממשיים, ונסמן [math]\displaystyle{ \lambda = \alpha + i\beta }[/math] הע"ע המתאים. לכן [math]\displaystyle{ Ax=\lambda x }[/math] נפתח את הביטוי, נשווה את הצד הדמיוני והממשי ונקבל 2 משוואות [math]\displaystyle{ Av=\alpha u - \beta v }[/math] ו [math]\displaystyle{ Av=\alpha v + \beta u }[/math]. אז רואים בקלות שלכל וקטור [math]\displaystyle{ w \in span\{u,v\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ Aw \in span\{u,v\} }[/math] ולכן האופרטור אינווריאנטי תחת התת מרחב [math]\displaystyle{ span\{u,v\} }[/math].

תודה! (:

שאלה

למה לכל פונ' ריבועית כללית יש את הצורה q(x)=(x^t)Ax ?

תשובה

ראינו בתרגיל שכל תבנית ריבועית [math]\displaystyle{ q(v) }[/math] מתאימה לתבנית בי לינארית סימטרית [math]\displaystyle{ f(v,v) }[/math], ולמדנו שלכל תבנית בי לנארית יש מטריצה [math]\displaystyle{ [f] }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(v,u)=v^t[f]u }[/math] ולמדנו שהמטריצה של תבנית בי לינארית היא סמטרית אם"ם התבנית סמטרית.

שאלה

מישהו אמר לי ששאלו את מרצה הקבוצה השנייה האם יהיה פירוק פולרי במבחן והוא אמר שלא...יש מישהו שיכול לאמת את זה כדי שאהיה בטוח?

שאלה

האם ידועה החלוקה בין ציון הבוחן, המבחן ושיעורי הבית? האם יש אפשרות ליידע את כולנו בממוצע הציונים בשיעורי הבית, כולל שיעורי הבית האחרונים? תודה רבה!!

תשובה

בימים הקרובים יפורסמו ציונים

שאלה

כתבנו בהרצאה על שניוניות ש אפשר לסדר את הע"ע של T האופרטור הצל"ע בסדר כזה, כך שהראשונים יהיו שונים מ0, ובסוף יהיו שווים ל0, ושהRANK של T שקול למס' הע"ע השונים. למה זה?

טוב הבנתי לבד חח, זה בגלל שהראנק של אופרטור שקול לראנק של ההצגה שלו לפי בסיס כלשהו ללא תלות בבסיס...

שאלה

בהוכחה של המשפט: A לכסינה \iff הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) עבור \lambda_1,...,\lambda_k הע"ע השונים של A

בכיוון אחד ההוכחה היא טיפה מסובכת. אי אפשר להוכיח גם את הכיוון הראשון בעזרת בלוקי ז'ורדן? A לכסינה לכן היא דומה למטריצה אלכסונית. אפשר להסתכל על האלכסון כבלוקים בגודל 1X1 וזהו הבלוק הגדול ביותר לכל ע"ע.. ולכן החזקה הגדולה ביותר בפולינום המינימלי היא 1... זה טוב?

תשובה

באמת שלהוכיח עם ז'ורדן זה באופן כללי בעייתי כי לא הוכחנו אותו בקורס, ולכן אי אפשר לדעת במה משתמשים בהוכחה שלו.

בקשה

הקישור למבחנים שבאתר של ד"ר צבאן מאוד נחמד, אבל איפה אפשר למצוא את המבחן שבוריס עשה שנה שעברה?? לי לפחות זה נראה הכי יעיל.. אם מישו יודע(:

שאלה

ארז- כתבת לגבי המבחן-# לגבי משפט אוילר, הוא מחולק לחלק מתמטי וחלק פיסיקלי. את החלק הפיסיקלי לא צריך לדעת למבחן, אבל את החלק המתמטי כן (וכל המשפטונים שמובילים להוכחה כמובן). איזה חלק מתמטי יש למשפט? ההצגה של אופרטור אורתוגונלי בצורת בלוקים?

תשובה

זה הנוסח מהמרצה, תבין את הכוונה שלו מהמחברת. אני מניח שזה אכן הבלוקים, והמשמעות שלהם, שאותה הייתם צריכים להבין כבר בתרגיל 12 ולצערי חלקכם לא הבין אותה.

שאלה

ידוע ש- [math]\displaystyle{ \lt u,v\gt =\lt u,b\gt }[/math], וכן u שונה מוקטור האפס.

האם בהכרח ניתן לומר ש: b=v ? אם לא, מהו בדיוק משפט ההצגה של ריס ומתי הוא עובד? באינטרנט מצאתי פירושים אחרים לגמרי למשפט ההצגה של ריס מזה שלמדנו. בהרצאה למדנו על משפט 'יחידות ההצגה של ריס' עבור מכפלות פנימיות. תודה רבה ארז אין עליך!

תשובה

מה פתאום! הרי אם v וb סתם וקטורים שמאונכים לu למה שהם יהיו שווים??

משפט ההצגה של ריס אומר שבממ"פ כל פונקציונל [math]\displaystyle{ f:V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] שווה לפונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ \lt w,\cdot\gt :V\rightarrow\mathbb{F} }[/math] עבור איזהשהו וקטור קבוע [math]\displaystyle{ w }[/math].

כלומר, יש איזומורפיזם בין הפונקציונאלים הלינאריים לבין המרחב הוקטורי עליו הם פועלים. איזומורפיזם זה הוא ההתאמה החח"ע ועל שבין f פונקציונל לw הוקטור הקבוע שציינתי למעלה, ומתקיים תמיד [math]\displaystyle{ f(v)=\lt w,v\gt }[/math].

ציונים

מתי מפרסמים את ציוני התרגיל ואיך הציון נקבע לפי הגבוהה מבין השתיים ? ( הבוחן או שיעורי הבית )

תשובה

אמרתי שנפרסם בימים הקרובים, ולמה שזה יהיה לגבוה מבין השניים? אולי נעשה את זה הגבוה מבין ציון התרגיל או 99?

הכוונה היא שציון התרגיל יקבע לא לפי 10 אחוז שיעורי בית 10 אחוז בוחן אלה 20 אחוז הגבוהה מבין השתיים וזאת בשביל מוטיבצייה והרגשה טובה . זה יראה על זה שאתם מעריכים את כל מה שהשקענו כל הסמסטר הזה כי באמת הקרבנו המון. תבואו לקראתנו אנחנו ילדים.

כן הבנתי את זה, ואני הצעתי על מנת להעלות את המורל לתת לכולכם פשוט 100. אנחנו מאד מעריכים את ההשקעה שלכם, ואנחנו מראים את זה פרט לחיוכים ועוגיות בנוסף על ידי הציון. כעת אנחנו צריכים להעריך יותר את מי שהשקיע יותר נכון? אז אני מציע ככה: ניתן לכם ציון, בהתאם לכמה שהצלחתם בכל תרגיל. מי שהצליח יותר יקבל יותר נקודות, ומי שהצליח פחות יקבל פחות. אבל כולכם תקבלו נקודות.

כך לדוגמא תלמיד שהצליח כמו שאתה אומר הצליח בכל התרגילים בצורה יפה והשקיע ובבוחן לא הלך לו .. (ולהפך) אז לדעתי צריך לקחת את הציון הגבוה - ממוצע תרגילים או בוחן וזאת כדי שאלה שהשקיעו לא התבאסו וירגישו שזה היה ליחנם בכל אופן אני זז לישון יש לי בית ספר מחר על הבוקר אם תרצה לקחת את זה לצומת ליבך זה יהיה נפלא לילה טוב

שאלה

צריך להודיע למישהו אם אני לא יכול להיבחן במועד א' או פשוט לא להגיע?

תשובה

לא צריך להודיע, אבל זה לא מומלץ. זה סיכון לגשת ישר למועד ב', כי הוא האחרון שיהיה.

המשך לשאלה ממקודם על בלוקי ג'ורדן

אמרת שלהוכיח עם בלוקי ז'ורדן זה בעייתי, אבל בהוכחה שאתה כתבת כיוון אחד כן השתמשת. אני לא מבין מה ההבדל בין מה שאני נתתי לבין הכיוון השני של ההוכחה שמופיעה באתר?

תשובה

אני אזכיר שמה שכתבתי באתר היה השלמה לתרגיל, ובאותו תרגיל הוכחנו דברים בעזרת צורת ז'ורדן על מנת ללמד צורת ז'ורדן. במבחן אני לא בטוח בכלל שהוכחות בעזרת צורת ז'ורדן יתקבלו כי הן עוקפות את המטרה המקורית, כמו אנשים שניסו להוכיח עם פוליטופים בבוחן. אני אנסה לחשוב על הוכחה טובה בכיוון השני גם.

בכל מקרה, תקרא ותבין את ההוכחה שיש בכיוון הראשון, זה סוג היכולת שנלמד בקורס, לא תשובה של משפט בעזרת ז'ורדן. 

בחלק הראשון של ההוכחה- למה צריך את החלק של החישוב של (A-li)vi ? שזה שווה להפרש הע"ע כפול הו"ע? הרי בהמשך ההוכחה אפשר ישר להזיז ימינה את A-ljI שיהיה ליד vi ואז זה ישר 0...למה צריך להחליף חלק משאר האיברים המוכפלים?

(תשובה לא מארז) אי אפשר להזיז את A-ljI ימינה סתם ככה. מה שיש לך אחרי זה לא סקלרים אלא מטריצות, ואתה לא יכול להחליף את הסדר.

שאלה

האם יתקיים שיעור חזרה עם המרצה? קיבלתי רק איימיל שיש שיעור חזרה עם לואי ביום שני מ-3 עד 7

שאלה

תרגיל: יהי V מרחב וקטורי עם בסיס B. הגדר מכפלה פנימית על V, כך שביחס למכפלה זו B בא"נ. מה אני אמור לעשות כאן, יותר נכון מה אני יכול לעשות כאן, מלבד להגדיר את התנאים למכפלה הפנימית המבוקשת עבור v1,...,vn וקטורי הבסיס B? (יש רמז לתרגיל, שאומר 'להשתמש באיזומורפיזם בין V למרחב הוקטורים F^n)

תשובה

תגדיר את המכפלה הפנימית לוקטורי הבסיס ואז מה? איך אתה יודע שהיא מוגדרת היטב?

לעומת זאת, אם תגדיר את המכפלה הפנימית באופן כללי, אז תענה על התרגיל. ולמה אתה חושב אומרים לך להשתמש במרחב הוקטורי הרגיל F^n? איך נראות מכפלות פנימיות מעליו?