סיבוכיות: הבדלים בין גרסאות בדף
| שורה 11: | שורה 11: | ||
'''דוגמא:''' אם <math>f(n)=n^3</math> ו-<math>g(n)=2n^2</math> אז לא קשה לראות ש-<math>f(n)=\Omega(g(n))</math> ו-<math>g(n)=O(f(n))</math> אבל לא מתקיים <math>f(n)=\Theta(g(n))</math>. | '''דוגמא:''' אם <math>f(n)=n^3</math> ו-<math>g(n)=2n^2</math> אז לא קשה לראות ש-<math>f(n)=\Omega(g(n))</math> ו-<math>g(n)=O(f(n))</math> אבל לא מתקיים <math>f(n)=\Theta(g(n))</math>. | ||
'''קצת אינטואיציה:''' <math>f(n)=O(g(n))</math> אומר ש-<math>f</math> גדלה כמו <math>g</math> או פחות מכך (עד כדי כפל בקבוע). <math>f(n)=\Omega(g(n))</math> אומר ש-<math>f</math> גדלה כמו <math>g</math> או יותר מכך (עד כדי כפל בקבוע). | |||
'''הערה:''' כשכותבים <math>O(f(n))</math> בחישובים (לדוגמא: <math>n+O(\lg n)</math>) בדרך כלל מתכוונים לפונקציה שהיא <math>O(f(n))</math>. הנ"ל נכון גם עבור <math>\Theta,\Omega,o</math>. | '''הערה:''' כשכותבים <math>O(f(n))</math> בחישובים (לדוגמא: <math>n+O(\lg n)</math>) בדרך כלל מתכוונים לפונקציה שהיא <math>O(f(n))</math>. הנ"ל נכון גם עבור <math>\Theta,\Omega,o</math>. | ||
'''הערה:''' ההגדרות לעיל תקפות גם עבור פונקציות מ-<math>\mathbb{R}_{\geq 0}</math> ל-<math>\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | '''הערה:''' ההגדרות לעיל תקפות גם עבור פונקציות מ-<math>\mathbb{R}_{\geq 0}</math> ל-<math>\mathbb{R}_{\geq 0}</math> | ||
== תכונות בסיסיות == | == תכונות בסיסיות == | ||
גרסה מ־14:26, 3 בנובמבר 2011
סיבוכיות היא דרך להשוות בין קצב גידול של פונקציות ממשיות. הסיבוכיות של פונקציה אינה מושפעת מהכפלתה בקבוע (גדול מ-0).
או גדול, אומגה, תטה
הגדרה תהיינה [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{R}_{\geq 0} }[/math] פונקציות אי שליליות מהטבעיים לממשיים.
- נאמר ש-[math]\displaystyle{ f(n)=O(g(n)) }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ C\gt 0 }[/math] ממשי ו-[math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(n)\leq Cg(n) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] (הקבוע [math]\displaystyle{ C }[/math] יכול להיות גדול כרצוננו).
- נאמר ש-[math]\displaystyle{ f(n)=\Omega(g(n)) }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ C\gt 0 }[/math] ממשי ו-[math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ f(n)\geq Cg(n) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] (הקבוע [math]\displaystyle{ C }[/math] יכול קטן גדול כרצוננו).
- נאמר ש-[math]\displaystyle{ f(n)=\Theta(g(n)) }[/math] אם [math]\displaystyle{ f(n)=O(g(n)) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ f(n)=\Omega(g(n)) }[/math], כלומר קיימים [math]\displaystyle{ C_1,C_2\gt 0 }[/math] ממשיים ו-[math]\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ C_1g(n)\leq f(n)\leq C_2g(n) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math].
לעיתים משתמשים גם בהגדה הבאה:
- נאמר ש-[math]\displaystyle{ f(n)=o(g(n)) }[/math] (סימון אחר [math]\displaystyle{ f(n)\ll g(n) }[/math]) אם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{f(n)}{g(n)}\right|=0 }[/math]. (הגדרה זו תקפה גם עבור פונקציות המקבלות ערכים שליליים ולכן הערך המוחלט.)
דוגמא: אם [math]\displaystyle{ f(n)=n^3 }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g(n)=2n^2 }[/math] אז לא קשה לראות ש-[math]\displaystyle{ f(n)=\Omega(g(n)) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ g(n)=O(f(n)) }[/math] אבל לא מתקיים [math]\displaystyle{ f(n)=\Theta(g(n)) }[/math].
קצת אינטואיציה: [math]\displaystyle{ f(n)=O(g(n)) }[/math] אומר ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] גדלה כמו [math]\displaystyle{ g }[/math] או פחות מכך (עד כדי כפל בקבוע). [math]\displaystyle{ f(n)=\Omega(g(n)) }[/math] אומר ש-[math]\displaystyle{ f }[/math] גדלה כמו [math]\displaystyle{ g }[/math] או יותר מכך (עד כדי כפל בקבוע).
הערה: כשכותבים [math]\displaystyle{ O(f(n)) }[/math] בחישובים (לדוגמא: [math]\displaystyle{ n+O(\lg n) }[/math]) בדרך כלל מתכוונים לפונקציה שהיא [math]\displaystyle{ O(f(n)) }[/math]. הנ"ל נכון גם עבור [math]\displaystyle{ \Theta,\Omega,o }[/math].
הערה: ההגדרות לעיל תקפות גם עבור פונקציות מ-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}_{\geq 0} }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{R}_{\geq 0} }[/math]
תכונות בסיסיות
נניח כי [math]\displaystyle{ f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{R}_{\geq 0} }[/math] אזי:
- [math]\displaystyle{ f(n)=O(f(n)) }[/math]. כנ"ל עבור [math]\displaystyle{ \Theta,\Omega }[/math].