אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע

אינפי 1 לתיכוניסטים

כאן יהיה המקום שלנו להיעזר אחד בשני בקורס חשבון אינפיניטסימלי 1. אתם מוזמנים לשאול שאלות ולדון בבעיות הנוגעות לקורס אינפי 1 - סטודנטים הלומדים בשתי הקבוצות מוזמנים להגיב כאן.

שאלה בקשר לשיעורי בית: האם צריך להוכיח שמינוס שורש שתיים הוא אי רציונאלי וששתיים בחזקת חצי הוא שורש שתיים. בשאלה 3, כאשר נותנים דוגמה נגדית, צריך להוכיח מהו החסם העליון? תודה

• תשובה : לא, ידוע ששורש שתיים הוא אי רציונלי, ולכן גם הנגדי לו אי רציונלי. בנוסף, גם ידוע ששתיים בחצקת חצי הוא שורש שתיים (אחרת מהו שורש?!). בשאלה 3 - אני נתתי דוגמא נגדית שיהיה קל למצוא את החסם העליון. אם מדובר בחלק מההוכחה אז כן (לדעתי)

-

תרגיל 4, שאלה 1

• אם אני יכול למצוא ביטוי מפורש (ולא רקורסי) של איברי הסדרה, האם מותר לי להשתמש בו?
• האם הטענה הבאה נכונה: אם ביטוי א' קטן או שווה לביטוי ב', אזי הגבול של ביטוי א' קטן או שווה לגבול של ביטוי ב'?

תודה רבה!!!

תרגיל 3, שאלה10

בתור תלמיד בקבוצה של ראובן, אני לא למדתי גבולות של פונקציות טריגונומטריות. בכל זאת, אני לא חושב ש- [math]\displaystyle{ n^2-81cos(n!) }[/math] יכול לשאוף למינוס אינסוף. אם כבר, הכי נמוך שהוא מגיע זה 68.77379321867966-(הרצתי תוכנית ב-Java עד לערך המקסימלי של int, שהוא שתיים בחזקת 31 פחות אחד אם אני לא טועה, וזה הכי נמוך שקיבלתי). אז מדוע השאלה מבקשת שאוכיך עבור פלוס ומינוס אניסוף.

סדרה חסומה?

אני לא מוצא את ההגדרה המפורשת של קבוצה חסומה. האם קובצה חסומה חסומה מלעיל ומלרע, או רק אחד מהם?

תשובה

לרוב הכוונה לחסומה גם מלעיל וגם מלרע (זו ההגדרה של חסומה)

תרגיל 1 - שאלות

• בשאלה 5 שצ"ל [math]\displaystyle{ A_n\gt =G_n }[/math] הצבתי לפי ההדרכה [math]\displaystyle{ b_i=\frac{a_i}{G} }[/math], והגעתי למצב בו עליי להוכיח את אי השוויון הבא:

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+...+a_n\gt =G }[/math] איך אני מוכיח את הטענה? הנ"ל? האם מותר לי להעלות בחזקת n, מכיוון ששני האגפים בודאות חיוביים?

תרגיל 2 - הודעה לתלמידי ד"ר ראובן כהן

תאריך הגשת התרגיל נדחה לשבוע הבא, יום ראשון ה-15/11.

קצת מאוחר להודע את זה עכשיו, לא?

שאלה בקשר לתרגיל בית מס' 2, שאלה 2

בא', צריך להוכיח כל טענה לגבי חיבור, חיסור, כפל וחילוק של מס' רציונליים?או שמספיק להגיד אם זה מתקיים או לא?

תשובה

עדיף שתפריך\תוכיח. זה לא מאד ארוך ומסובך

בתרגיל מספר 2

שאלה 1 לא נכונה, זה לא מוכיח את זה!

• היא נכונה, שים לב שאחד המקרים מוכל בשני. כלומר אם אני אגיד לך:

[math]\displaystyle{ X\gt 3 }[/math]. הוכח: [math]\displaystyle{ X\gt 2 }[/math] לא תהיה לך בעיה לעשות את זה, נכון?

לגבי מקסימום (מינימום) וחסם עליון (תחתון)

אני יכול להגיד בוודאות שמשהו הוא חסם עליון (תחתון) אם הוכחתי שהוא מקסימום (מינימום)?

(כל זאת בהנחה שיש באמת מקסימום או מינימום לקבוצה..)

תשובה

כן. נניח M מקסימום של קבוצה A. נניח M אינו חסם עליון אזי קיים [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] חסם מלעיל כך ש[math]\displaystyle{ M_2\lt M }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \forall a \in A : M_2 \geq a }[/math]. אבל M מקסימום לכן [math]\displaystyle{ M \in A }[/math]. אבל זו סתירה לכך ש [math]\displaystyle{ M_2 }[/math] חסם מלעיל כיוון ש[math]\displaystyle{ M_2\lt M }[/math].

כמה שאלות כלליות.

מספיק להראות שקבוצה מסוימת חסומה מלעל ע"י מציאת הsup שלה? ובשאלה 3 (בתרגיל בית מס' 2), בקשר לסעיפים ב' וג', אני צריכה להתעלם מהמקרה של הקבוצה הריקה? כי אם החיתוך שלהם הוא ריק, אז אין להם מקסימום וחסם עליון לפי מה שנאמר לנו בכיתה.. (הן אמנם חסומות בצורה ריקה אבל אין להם מקסימום/חסם עליון.) ועוד שאלה קטנה: כדי להראות שקבוצה אינה חסומה, מילעל נניח, מספיק להראות שלכל m>0, קיים N (או שמא קיימים Nים החל ממקום מסוים? מה הניסוח הנכון?) כך שאיבר בסדרה כפונקציה של N גדול מאותו m? אשמח לתשובה, כי אלו דברים בסיסיים שמופיעים בתרגיל פעמים רבות..

תשובה

sup הינו החסם העליון, כלומר חסם המלעל הכי קטן. אם הוא קיים, אז קיים חסם מלעיל (הוא עצמו) ובפרט הקבוצה חסומה.

לגבי השאלה הקטנה, את מבלבלת בין שני מושגים- קבוצה וסדרה. לקבוצה אין מיקום או סדר כמו לסדרה. על מנת להראות שקבוצה לא חסומה, יש להראות שלכל מספר ממשי M קיים איבר בקבוצה שגדול מM. על מנת להראות שסדרה לא חסומה, יש להראות שלכל איבר M קיים איבר בסדרה שגדול מM. אם רוצים להראות שסדרה שואפת לאינסוף (או מתכנסת במובן הרחב) יש להראות שלכל M, קיים מקום בסדרה, נקרא לו [math]\displaystyle{ n_0 }[/math], שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה גדולים מM.

תודה רבה. מה לגבי השאלה השנייה שלי? לגבי הקבוצה הריקה?

אין לי מושג, אני לא יודע מה התרגיל שלכם.

מספר שאלות שקשורות לתרגיל 2

1.יש הרבה תרגילים שהתשובה ל"מה חסמי המלעיל" שלהם נראית ברורה, אבל לא כ"כ ברור לי האם צריך לנמק את זה (איך אפשר לנמק ביותר מלהראות שכולם אכן גדולים מכל איברי הקבוצה?).

2.מתי שיש חסם עליון – רק עכשיו, אחרי שסיימתי חלק נכבד מהתרגילים, הבנתי שכדי להוכיח שמספר כלשהו הוא חסם עליון צריך להשתמש באפסילון, וכ'ו, אבל הוכחתי זאת בצורה שונה – הראיתי שאכן זהו חסם המלעיל הקטן ביותר. האם ההוכחה שלי בסדר?

3.בתרגילים עם הגבולות – כשנתון הגבול – האם הרעיון העיקרי הוא לבטא את ה-nים המסויימים שמהם והלאה לכל איבר שנחסר ממנו את הגבול נקבל שהם קטנים מאפסילון (n מבוטא כתלות בכל אפסילון חיובי שנבחר), ואח"כ להראות שאכן קיימים nים כאלה? (וצריך רק למפות אותם, כלומר אם התשובה הסופית שלי היא משהו בסגנון n<2Ɛ^2-2Ɛ+17 אז בעצם הוכחתי שהגבול שהנחתי שקיים אכן קיים?

4.עד כמה "מעמיקה" צריכה להיות ההוכחה בכל התרגילים? אני לא יודע איך אפשר להיות בטוח שכתבתי מספיק, מצד שני התרגילים לא מאתגרים במיוחד ככה שלא נתקלתי עוד בהוכחות כמו אלה שעשינו בהרצאה או בתרגול.

שאלה קטנה

אם הוכחתי שמספר כלשהו שלא נמצא בקבוצ A הוא חסם עליון של הקבוצה, מכך נובע ישירות שאין מקסימום, נכון?

תשובה

כן. אם החסם העליון היה בקבוצה הוא היה מקסימום, ואם מקסימום קיים הוא החסם העליון

תרגיל 2, שאלה 2

בסעיף א', האם ניתן לקחת שני מספרים אי רציונליים נגדיים ולהגיד שהחיבור שלהם הוא 0?

מצטרפת לשאלה, אפשר גם למשל לקחת את המספרים: שורש 2, ו2 פחות שורש 2 ולהגיד שהחיבור שלהם רציונלי..?

תשובה

אין סיבה שלא

הודעה לתלמידים של ראובן

הדף הראשון של תרגיל 3 לשבוע הבא, הדף השני לעוד שבועיים.

שאלה בהגדרת הסדרה

נתונה לי סדרה כלשהי {an}, ויש לי טענה שאני רוצה להפריך. אני יכול להגדיר an=0 לכל n טבעי? כי למדנו בכיתה ט' שסדרה קבועה אינה מוגדרת כסדרה, אבל אני לא יודע אם זה תקף גם באוניברסיטה או רק בתיכון....

תשובה

הסדרה הקבועה היא אכן סדרה

תרגיל 4 שאלה 6 סעיף ב'

קיימת אפשרות לפיה L=אינסוף, או שהתכוונו L=/=0 וממשי?

תרגיל 3, שאלה 2

האם הסדרות יכולות להיות חסומות מצד אחד בלבד? או שלא חסומות הכוונה ללא חסומות משני הצדדים, כלומר אין להן לא חסם מלעיל ולא חסם מלרע?

תשובה

לא חסומות אומר שאין להם חסם עליון וגם חסם תחתון. יכול להיות שהם "חסומות" רק מצד אחד.

שאלה 12 סעיף ג'

מישהו יכול לעזור?

שאלה כללית

האם אמור להיות מפורסם עוד תרגיל השבוע (27.11)?

שאלה

אם בקבוצה יש אינסוף איברים ששואפים לאינסוף, האם ניתן להגיד שהקבוצה לא חסומה מלעיל בלי להוכיח? ואיך ניתן להוכיח זאת?

תשובה

יש טעות בתוך השאלה עצמה. מה הכוונה אינסוף איברים ששואפים לאינסוף? הרי איבר אחד לא יכול לשאוף לאינסוף, רק סדרה. אם הכוונה שיש בקבוצה סדרה של איברים שהיא שואפת לאינסוף (כלומר מתכנסת במובן הרחב) אזי הקבוצה לא חסומה מלעיל. ההוכחה ממש מתבקשת מההגדרות. רשום אותן ותבין. טקסט מודגש

שאלה

אם קבוצה עולה היא מתכנסת, הsup שלה הוא בהכרח הגבול שלה נכון..?

תשובה

נכון. נניח [math]\displaystyle{ m }[/math] הוא החסם העליון של קבוצת איברי הסדרה [math]\displaystyle{ A=\{a_1,a_2,...\} }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים איבר [math]\displaystyle{ a_{n_0} }[/math] ב[math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ a_{n_0}\gt m-\epsilon }[/math] (זו תכונה של חסם עליון).

מכיוון ש[math]\displaystyle{ m }[/math] חסם עליון אז בוודאי הוא חסם מלעיל ולכן [math]\displaystyle{ a_{n_0}\leq m\lt m+\epsilon }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ m-\epsilon\lt a_{n_0}\lt m+\epsilon }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ |a_{n_0}-m|\lt \epsilon }[/math].

אבל מכיוון שהסדרה עולה, לכל [math]\displaystyle{ n\gt n_0 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n\gt a_{n_0} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ a_n\gt a_{n_0}\gt m-\epsilon }[/math] וכמובן [math]\displaystyle{ a_n\leq m\lt m+\epsilon }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ |a_n-m|\lt \epsilon }[/math] וזו בדיוק הגדרת גבול.

רק טעות בשאלה, קבוצה לא מתכנסת, סדרה מתכנסת. כלומר המשפט הנכון הוא: סדרה מונוטונית עולה מתכנסת לחסם העליון של קבוצת האיברים שלה.

שאלה

בתרגיל 5, שאלה 3: "השתמשו במבחן ההשוואה ומבחן ד'למאבר על מנת לבדוק אם הטורים הבאים מתכנסים". אני יכולה להשתמש בחלק מהסעיפים בדרכים אחרות לבדיקה אם טורים מתכנסים? למשל, להוכיח שהגבול של הסדרה הוא בהכרח לא 0? חג שמח!

• המתרגל רועי בן-ארי אמר שמותר להשתמש בכל מבחני ההשוואות שאנחנו מכירים, אם הם עוזרים לנו לפתור את התרגיל.

עזרה

מישהו יכול לתת כיוון איך להראות שהטור: סיגמה של sin(1/n) מתבדר/מתכנס..?

• רמז: תראה באינדוקציה ש: [math]\displaystyle{ sin(\frac{1}{n})\lt \frac{1}{n^2} }[/math].

הטענה הזו לא נכונה, תבדוק במחשבון ותראה (תציב, למשל, n=1000)

בדקתי בתוכנת מתמטיקה מתקדמת, הטור בכלל מתבדר (היא אמרה לי מפורשות וגם לפי המבחן האינטגרלי - שמוציא אינטגרל מאד מסובך - אבל שואף לאינסוף).

אז איך אפשר להוכיח שהטור מתבדר? כל מבחן נותן בדיוק את 'תוצאת הביניים' (למשל 1 במבחן השורש של קושי, וכ'ו...)

שאלה - יום ראשון הקרוב

האם ביום ראשון הקרוב, 27.12, יתקיימו הרצאה ותרגיל? (צום י' בטבת)

בעיה

• השיעורים באינפי (תרגיל 5) הם למחר? (לקבוצה של רועי) כי אם כן, אז יש כמה בעיות - חוץ מזה שהבוחן בלינארית ביום שלישי, השיעורים שהוא נתן כוללים גם טורים לא חיוביים שבכלל לא למדנו - מה אנחנו אמורים לעשות?

שאלה

בשאלה 3, האם צריך להראות שהטורים חיוביים לפני שמשתמשים במבחן ההשוואה וד'אלמבר?

יש טעות בתרגיל - יש שמה טורים שלא כל איבריהם חיוביים!

שאלה של הבנה

בתרגיל 5 בשאלה 3 איך אני פותר את הסעיפים שם- צריך להראות את שתי השיטות או שמספיק לבחור אחת מהן?

תרגיל 6 באינפי

רועי העלה לאתר תרגיל 6 אתמול בערב (ביום חמישי). האם הוא התכוון שנעשה אותו ליום ראשון הקרוב (מחרתיים)?

בכל מקרה, יש שם 8 שאלות: שתי שאלות על טורים עם סימנים מתחלפים, ורק שאלה אחת על הנושא שתרגלנו בכל התרגיל האחרון שלנו - גבולות של פונקציות. יש שם 5 שאלות עוסקות בנושא שבכלל לא הגענו אליו - רציפות של פונקציות, וכוללות גם הוכחות שקשורות לנושא.

הערה

הפורום הזה יבש .. לא מקבלים תשובה על כלום ובנוסף לכך לא מקבלים חזרה שיעורי בית .. זה ממש לא בסדר .. שלא נדבר על אי התאמה בין הרצאות לתירגולים ולשיעורי הבית .. \=

תשובה

• הפורום הזה הוא שלכם, ובאמת חבל שאתם לא עונים אחד לשני יותר.
• שנית, אתם לא שואלים שאלות על אינפי כמעט, אלא בלבד שאלות טכניות על מתי צריך להגיש וכולה. אם יש נושא מתמטי לא ברור ותשאלו, אני אענה עליו (תסתכל על סוג השאלות שנשאלו, ואילו שאלות קיבלו מענה).

שאלה

מישהו יכול לעזור לי בשאלה 6? (להוכיח או להפריך שאין פונקציה רציפה בקטע סגור שמקבלת כל ערך בדיוק פעמיים)

רמז - תנסה לקחת דוגמא הכי פשוט שאמורה לעשות את זה x^2 ותנסה להבין אם היא מקיימת או לא ולהכליל את הבעייה אם היא לא מקיימת

שאלה 2

השאלה מנוסחת כך: f(x)={[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math]},{t} := t-[t] <-wtf

מה הולך כאן? וחוץ מזה, בהנחה ש-t קבוע קבלנו שלכל x נקבל את אותו t. בכל מקרה, ממתי אפשר להציג שתי קבוצות שמופרדות בפסיקים, ולומר שהן שוות לביטוי כלשהו?

תשובה

לא שאני בטוח בזה, אבל מסקנה שהגעתי אליה עם כמה תלמידים היא שכוונת השאלה היא:

[math]\displaystyle{ f(x)=g(\sqrt(x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x):= x-[x] }[/math]

יענו הסוגריים המסולסלים הם פונקציה.

שאלה 4

מישהו יודע מה זה הסימון של 3 קווים?

תשובה

אם אתה מתכוון לסימן הזה: [math]\displaystyle{ f\equiv 0 }[/math] הכוונה היא לשקילות, או שיוויון פונקציות. כאן זה אומר שf הינה הפונקציה הקבועה אפס. מטרת הסימון היא להפריד בין משוואה f=0 שלה יכולים להיות שורשים, לבין להגיד שf הינה הפונקציה הקבועה אפס.

תרגיל

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} 2xtg(x)-\frac{\pi}{cos(x)} }[/math]

פתרון

שאלה

ארז - מה זו מתקפת האינפי הזו פתאום? נכון שאינפי זה רצח, אבל האם לא יכלת לחכות עד שנתגבר על לינארית :) ?

בגלל זה את האתגר מחקתי עד המבחן בלינארית. את זה כתבתי לסטודנט שלי באינפי

שאלה

מישהו שם לב לתרגיל החדש שרועי בן ארי שם באתר שלו? למתי צריך להגיש אותו?

קודם שיחזירו את הששת תרגילים הקודמים אחרי זה שיעלו עוד תרגילים .. הקורס הזה לא רציני ..

זה קצת מפחיד, נראה שחלק (די גדול) מהתרגילים שהגשנו נאבד בדרך, ורועי לא עונה באימייל.

נכון, וזה כולל גם את הבחנים. הבחנים עדיין לא הוחזרו לנו ורועי לא עונה במייל, זה באמת לא רציני. מלבד זאת, יש אפשרות להגיש את הש.ב (תרגילים 7+8)ביום של השיעור חזרה במקום מחרתיים? קודם כל כי חלק גדול מאיתנו רוצה ללמוד את החומר לפי הסדר שהוא לומד, ופונקציות הן לקראת הסוף, ובנוסף לא כולנו יוכלו להגיע באופן עצמאי לבר אילן ביום שלישי.

נו מי פותר את האתגרים

בטח מישהו מכם יכול לפתור משהו

יפה מאד זה נכון :).

אבל עדיף לשלוח לי תשובות למייל, וככה לתת לאנשים אחרים גם הזדמנות. מתישהו אני אכתוב את התשובות.

סתם שאלה, עדיין לא התחלתי להסתכל עליהם בצורה רצינית, אבל אתה בטוח שבראשונה הכוונה היא למספרים הממשיים? כי ממבט ראשון לא נראה לי הגיוני לתהיה סדרה (ש"יש" לה א0 איברים תתין לך קבוצה של א איברים.. אבל יכול להיות שזו סתם שטות שלי (אני מניח שיש לי בטח איזו בעיה באינטואינציה או משהו, אבל זה עדיין מוזר לי...)

תשובה

זה בדיוק היופי של השאלה, אם תחשוב קצת בכיוון הזה אולי גם תגיע לתשובה. בכל אופן, אני לא טועה ויש סדרה כך שהגבולות החלקיים שלה הם כל הממשיים.

קצת הסבר אינטואיטיבי: הרי מה זה גבול חלקי? גבול של תת סדרה. כמה תתי סדרה ניתן לקחת מתוך סדרה? זה דומה לקבוצת החזקה. וידוע שהעוצמה של קבוצת החזקה גדולה מזו של הקבוצה עצמה, ולכן זה בכלל ייתכן.

שאלה

אני לא מצליח לחשב את הגבול :

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{|5-2x|-|x-2|}{|x-5|-|3x-7|} }[/math]

תשובה: בסביבה מספיק קרובה ל3 אתה יכול להפטר מכל הערכים המוחלטים באופן הבא:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-5-x+2}{5-x-3x+7}=\frac{x-3}{12-4x}= -\frac{1}{4} }[/math]

למה -1/4? הרי זה לא שואף לאינסוף בשורה האחרונה.. זה לא אמור לשאוף ל-0?

למה אפס? מה אינסוף בשורה האחרונה? צימצמנו בx-3 במונה ובמכנה.

שאלה - נגזרות

כדי להפריך קיום של נגזרת בנקודה כאשר ידוע שהפונק' רציפה באותה נקודה - נותר רק להראות שהנגזרת הימנית בנק' שונה מהנגזרת השמאלית בנק'. יש לי את הפונק' : [math]\displaystyle{ f(x)=xcos\frac{1}{x} }[/math] כאשר (לא ידעתי איך לכתוב את זה) בנק' x=0 נגדיר f(x)=0 (כלומר הפונק' רציפה כי הגבול של הפונק' בנק' 0 הוא 0, ועכשיו גם הגדרנו את ערך הפונק' בנקודה זו) אני רוצה להראות שהנק' אינה גזירה בנק' x=0, אבל אחרי חישובים אני מקבל שהנגזרת הימנית שווה לגבול מימין של הביטוי: [math]\displaystyle{ cos\frac{1}{dx} }[/math], כאשר dx שואף ל-0, וכן הנגזרת משמאל שווה לגבול משמאל של ביטוי זה. אחרי הצבה במחשבון של מס' קטנים, קבלתי ששניהם שווים (בערך ל: 0.95215- כשהמחשבון ברדיאנים), כלומר הנגזרת מימין שווה לנגזרת משמאל. איפה הטעות שלי?

תשובה

במחשבון. מה הטענה שלך, שיש גבול ל[math]\displaystyle{ cos(\frac{1}{x}) }[/math] כאשר איקס הולך לאפס? הרי ברור שזה לא נכון (מאף צד...)

קח את הסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{0 + 2\pi k} }[/math] והסדרה [math]\displaystyle{ \frac{1}{\pi+ 2\pi k} }[/math].

אלה סדרות ששואפות לאפס ואם תשים את הסדרות האלה בתוך הקוסינוס תקבל 1 או מינוס אחד בהתאמה (ולכן אין גבול). אם אתה רוצה לראות את זה במחשבון תציב איברים מהסדרות במחשבון...

אוי, איך לא חשבתי על זה ככה - לפונק' מחזורית שתשאיף אותה לאינסוף (נהפוך ל-cos(x) כאשר x שואף לאינסוף, למשל) לא יהיה גבול. אז בעצם, מספיק להראות שהנגזרת לא קיימת, בלי קשר ל'נגזרת מימין' וה'נגזרת משמאל', לא? כי בין כה וכה, אם הנגזרת הייתה קיימת, היא הייתה סופית ומוגדרת.

שאלה

איפה אפשר למצוא מבחנים באינפי? :)

שאלה - גזירה

נניח שיש לי פונקצייה שהנגזרת שלה בנק' x כלשהו היא 0, האם אני יכול להסיק שהיא גזירה גם פעמיים, ואף יותר, ושגם כל הנגזרות האחרות שלה באותה נקודה שוות ל-0?

תשובה

בשום פנים ואופן לא. דוגמאות:

• x^2, הנגזרת הראשונה 2x והנגזרת השנייה 2
• פונקצית דיריכלייה (0 על רציונאליים, x^2 על אי רציונאליים). נגזרת ראשונה באפס הינה אפס, ואין לה נגזרת נוספות כי הנגזרת הראשונה לא רציפה, היא מוגדרת רק בנקודה אחת.

אז איך אני יכול להוכיח שפונקצייה כלשהי גזירה אינסוף פעמים בנקודה מסוימת?

לא יודע, באיזה הקשר? e באיקס גזירה אינסוף פעמים כי הנגזרת שלה היא עצמה למשל. כל שאלה והתשובה שלה.

יש לי את הפונקצייה [math]\displaystyle{ f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}} }[/math] כאשר x שונה מ-0, וכן f(0)=0. הפונק' רציפה גם באפס. כדי להוכיח שהיא גזירה באפס, משתמשים בנוסחא לחישוב הנגזרת, ומקבלים:

[math]\displaystyle{ f'(0)=lim\frac{f(dx)}{dx} = lim \frac{1}{dxe^\frac{1}{(dx)^2}} }[/math], וכן dx שואף ל-0. אפשר לראות שהנגזרת שווה ל-0, מפני שהביטוי הנ"ל שואף לאפס, מהסיבה ש: [math]\displaystyle{ lim\frac{1}{xe^\frac{1}{x^2}} }[/math] קטן או שווה ל-[math]\displaystyle{ lim\frac{1}{x^2e^\frac{1}{x^2}} }[/math] כאשר x שואף ל-0, והגבול האחרון שווה ממש לגבול: [math]\displaystyle{ lim\frac{t}{e^t} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ t=\frac{1}{x^2} }[/math], ו-t שואף לפלוס אינסוף. אפשר לראות שהגבול האחרון שווה ל-0 מפני ש-[math]\displaystyle{ e^t }[/math] גדל "מהר יותר" מ-t לכל t>0.

בכל מקרה, היה עליי להוכיח שהפונקצייה גזירה ב-0 אינסוף פעמים. הראיתי ש-[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math] (האם זה היה נחוץ בכלל?). איך אני יכול להמשיך מכאן? תודה רבה ארז!!!

תשובה

שים לב שידעתי שזה e עוד לפני ששמעתי את השאלה. צריך להשתמש בעובדה שe גזירה אינסוף פעמים. תחשב את כל הנגזרת (לא רק באפס). מה הפונקציה שקיבלת? תוכיח באינדוקציה...

בכל פעם שאני גוזר מתווסף לי עוד איבר לחבר, כאשר בכל האיברים יש מספר במונה ובמכנה x בחזקת מספר מסוים. לכל האיברים יש גורם משותף [math]\displaystyle{ e^{\frac{-1}{x^2}} }[/math], אבל עדיין אין לי את ה'זכות' להוציא גורם משותף ולומר שהוא שווה ל-f(x) ששווה לאפס בנק' x=0. עצם העובדה שהגבול שלו כאשר x שואף לאפס היא 0 הוא דבר אחר, לא?

אני חושב שהרעיון הוא שe שואף הרבה יותר מהר לאפס מאשר פולינום מכל חזקה שלא תהיה. ולכן הגבול תמיד יהיה אפס (לא כי הוא בהתחלה אפס, כמו שהראתי יש דוגמאות נגדיות לזה)

הממ אבל רגע - אם לכל X ששואף לאפס יש ערך (ששואף להיות ערך מסוים - למשל במקרה הזה 0) לנגזרת ה-n-ית שלו, מי אמר שגם ל-x=0 יש את אותו ערך בנגזרת ה-n-ית שלו? ז"א, אנחנו יודעים ש-f רציפה כפי שהגדרנו אותה, אבל מי אמר שגם f', או f, וכ'ו רציפות גם הן?

גזירות אתה מתכוון. כמו שאמרתי באינדוקציה. הרי הנגזרת בכל נקודה שונה מאפס קלה לחישוב. ואת הגבול של f(h)/h קל לחשב. מה עוד נשאר?

אבל אני לא יודע לבטא נגזרת n-ית לפי הנוסחא עם הדלתא-x , הכוונה לנוסחת חישוב ערך הנגזרת בנקודה: [math]\displaystyle{ f'(x)=lim\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} }[/math], כאשר dx שואף לאפס.

למה לחשב עם הנוסחא? תחשב פשוט את הנגזרת. [math]\displaystyle{ [e^{-\frac{1}{x^2}}]' = e^{-\frac{1}{x^2}}[-\frac{2}{x^3}] }[/math]