88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי

חזרה לסדרות

סדרות קושי

הגדרת התכנסות סדרה עד כה הסתמכה על קיום נקודת גבול L. אולם למדנו כי יש סדרות המתקרבות לנקודה שאינה שייכת לשדה, כמו שורש שתים בשדה הרציונאליים. סדרה המתכנסות לשורש שתיים מעל הממשיים, בהכרח אינה מתכנסת מעל הרציונאליים.

נגדיר איפוא תכונה של סדרה השקולה מבחינת התנהגות להתכנסות, אך אינה דורשת קיום של נקודת גבול בשדה. עקרונית, נדרוש שאיברי הסדרה יתקרבו אחד לשני, ולא לנקודת עוגן מסוימת הלא היא נקודת הגבול.

הגדרה.

סדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] נקראת סדרת קושי אם לכל [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\epsilon\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt N_\epsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |a_n-a_m|\lt \epsilon }[/math]

במילים, אם לכל מרחק אפסילון קיים מקום בסדרה כך שהחל ממנו ומעלה המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון, אזי הסדרה הינה סדרת קושי.

משפט. מעל שדה הממשיים סדרה מתכנסת אם"ם היא סדרת קושי.

ברור ממשפט זה, יחד עם הדוגמא של סדרה השואפת לשורש שתיים, שהמשפט אינו תקף מעל שדה הרציונאליים.

תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2} }[/math]

הוכח כי הסדרה מתכנסת

הוכחה.

נוכיח כי זוהי סדרת קושי ולכן מתכנסת. יהי [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] כלשהו. צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו המרחק בין כל שני איברים קטן מאפסילון. נביט במרחק בין שני איברים כלשהם:

[math]\displaystyle{ |a_m-a_n|=\Big|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-...+a_{n+1}-a_n\Big|\leq }[/math]

לפי אי שיוויון המשולש זה קטן או שווה ל:

[math]\displaystyle{ \Big|a_m-a_{m-1}\Big| + ... + \Big|a_{n+1}-a_n\Big| = \frac{1}{m^2}+...+\frac{1}{(n+1)^2}\leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \leq\frac{1}{m(m-1)}+...+\frac{1}{(n+1)n}= }[/math]

כעת נעזר בנוסחא שקל להוכיחה: [math]\displaystyle{ \frac{1}{m(m-1)}=\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\leq \frac{1}{n} }[/math]

וכרגיל, עבור [math]\displaystyle{ N_\epsilon \gt \frac{1}{\epsilon} }[/math] אנו מקבלים את מה שצריך לכל [math]\displaystyle{ m\gt n\gt N_\epsilon }[/math]

תרגיל.

תהי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] סדרה המוגדרת על ידי כלל הנסיגה

[math]\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n+1} }[/math]

הוכח כי [math]\displaystyle{ \lim a_n = \infty }[/math] (כלומר הסדרה מתכנסת במובן הרחב לאינסוף).

הוכחה.

דבר ראשון, טריוויאלי להוכיח כי הסדרה הינה מונוטונית עולה שכן [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1}\gt 0 }[/math].

לכן, כפי שלמדנו, מספיק להוכיח כי הסדרה אינה מתכנסת. לצורך זה, מספיק להוכיח שהיא אינה סדרת קושי.

ניקח [math]\displaystyle{ \epsilon =\frac{1}{2} }[/math]. יהי [math]\displaystyle{ N\in\mathbb{N} }[/math] מקום כלשהו בסדרה, ויהי [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math]. ניקח [math]\displaystyle{ m=2n }[/math]. מתקיים,

[math]\displaystyle{ |a_{2n}-a_n|=\Big|a_{2n}-a_{2n-1}+a_{2n-1}-a_{2n-2}+a_{2n-2}-...+a_{n+1}-a_n\Big|= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{n+1}\geq \frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2} }[/math]

ולכן מתקיימת שלילת ההגדרה של קושי והסדרה הנ"ל אינה מתכנסת.