גרסה מ־20:53, 6 בדצמבר 2011

קישורים

[math]\displaystyle{ \ \Longleftarrow }[/math]שאלות ותשובות[math]\displaystyle{ \ \Longrightarrow }[/math]

הודעות

העלתי קובץ ובו פתרון של בעיית שפה לפי שיטת גרין. שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל. --Michael 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)

לגבי התרגול היום (6.12.2011): הגענו לפתרון [math]\displaystyle{ y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] כדי שהגבול יתכנס. הדרך המלאה היא כך:

[math]\displaystyle{ y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ y'(0)=\omega_0 c_2 }[/math]

(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:

[math]\displaystyle{ c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} }[/math]

ולכן הפתרון הוא:

[math]\displaystyle{ y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ =y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2} }[/math]

עכשיו נוכל להשאיף [math]\displaystyle{ \omega \rightarrow \omega_0 }[/math] ולקבל:

[math]\displaystyle{ y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t\sin{\omega_0 t}}{2\omega_0} }[/math]

כאשר:

[math]\displaystyle{ A_1=y(0) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0} }[/math] הם קבועים חופשיים.

רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום. --Michael 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)

@@ שורה 14: / שורה 14: @@
 שימו לב שמדובר כאן על תנאי שפה מסויימים, נא לא להתבלבל.
 --[[משתמש:Michael|Michael]] 20:24, 27 בנובמבר 2011 (IST)
+----
+לגבי התרגול היום (6.12.2011):
+הגענו לפתרון <math>y=c_1\cos{\omega_0t}+c_2\sin{\omega_0t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+ומשם בלי ממש להסביר איך, שינינו קצת את <math>c_1</math> כדי שהגבול יתכנס.
+הדרך המלאה היא כך:
+<math>y(0)=c_1+\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+<math>y'(0)=\omega_0 c_2</math>
+(לא קשה לראות שזה נכון). אפשר לבודד את הקבועים:
+<math>c_1=y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+<math>c_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}</math>
+ולכן הפתרון הוא:
+<math>y=(y(0)-\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2})\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+<math>=y(0)\cos{\omega_0 t}+\frac{y'(0)}{\omega_0}\sin{\omega_0 t}+\frac{\cos{\omega t}-\cos{\omega_0 t}}{\omega_0^2-\omega^2}</math>
+עכשיו נוכל להשאיף <math>\omega \rightarrow \omega_0</math> ולקבל:
+<math>y=A_1\cos{\omega_0 t}+A_2\sin{\omega_0 t}+\frac{t\sin{\omega_0 t}}{2\omega_0}</math>
+כאשר:
+<math>A_1=y(0)</math> ו- <math>A_2=\frac{y'(0)}{\omega_0}</math> הם קבועים חופשיים.
+רצוי מאוד שתשתמשו בדרך המלאה הזו, ולא בדרך הקצרה יותר שלמדנו היום.
+--[[משתמש:Michael|Michael]] 22:53, 6 בדצמבר 2011 (IST)