פתרון 7 (אלעד איטח)

א. קל להבחין ש-A היא סכום ישר של 3 בלוקי ז'ורדן. נמצא את הפולינום האופייני של T, שהוא הפולינום של המטריצה המייצגת שלה, ללא תלות בבסיס הנבחר, כי המטריצות המייצגות של אותה העתקה ליניארית דומות זו לזו, ולכן יש להן אותו פולינום אופייני.

[math]\displaystyle{ f_{T}(x)=\left | xI-A \right |=\begin{vmatrix} x-4 &-1 &0 &0 \\ 0 &x-4 &0 &0 \\ 0 &0 &x-4 &0 \\ 0 &0 &0 &1-x \end{vmatrix}=x(x-4)^{3} }[/math]

שורשי פולינום זה הם הע"ע של T. לכן הע"ע של T הם 4 ו-1.

ב.A היא צורת הז'ורדן של T (וזו בהכרח קיימת כי הפולינום האופייני של T מתפרק לגורמים ליניאריים). מימדי המרחבים העצמיים הם הריבויים הגיאומטריים של הע"ע, שהם שווים למספר הבלוקים המתאימים לכל ע"ע בצורת הז'ורדן A. לכן מימד המרחב העצמי של הע"ע 4 הוא 2 ומימד המרחב העצמי של הע"ע 1 הוא 1.