פתרון 4 (אלעד איטח)

א. אחרי חישובים נקבל שהפולינום האופייני של A הוא [math]\displaystyle{ f_{A}\left(x\right)=\left|xI-A\right|=\left|\begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1\\ 0 & x-1 & 1\\ 0 & 0 & x-2 \end{array}\right|=\left(x-1\right)^{2}\left(x-2\right) }[/math]

ב. לפולינום המינימאלי של A יש אותם גורמים אי-פריקים כמו לפולינום האופייני של A. אחרי חישוב נקבל ש- [math]\displaystyle{ (A-I)(A-2I)\neq 0 }[/math] כלומר, לא קיים פולינום ממעלה נמוכה יותר מזו של הפולינום האופייני של A שיש לו אותם גורמים אי-פריקים שמאפס את A. הפולינום האופייני של A הוא פולינום מתוקן ומהמעלה הנמוכה ביותר שמאפס את A (לפי משפט קיילי-המילטון). לכן הפולינום המינימאלי של A הוא [math]\displaystyle{ m_{A}(x)=f_{A}(x)=(x-1)^{2}(x-2) }[/math] ג. הע"ע של A הם שורשי הפולינום האופייני של A, שהם 2 ו-1.

ד. נגדיר [math]\displaystyle{ k_{\lambda } }[/math]-הריבוי האלגברי של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ו-[math]\displaystyle{ m_{\lambda } }[/math] הריבוי הגיאומטרי שלו. הריבוי האלגברי של ע"ע [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] מוגדר בתור האינדקס הגדול ביותר k שעבורו [math]\displaystyle{ (x-\lambda)^{k} }[/math] מחלק את הפולינום האופייני של A. לכן, [math]\displaystyle{ k_{1}=2 }[/math] [math]\displaystyle{ k_{2}=1 }[/math] הריבוי הגיאומטרי של כל ע"ע קטן או שווה לריבוי האלגברי שלו וגם גדול או שווה ל-1. לכן, [math]\displaystyle{ 1\leq m_{2}\leq 1\Rightarrow m_{2}=1 }[/math] הריבוי הגיאומטרי של ע"ע מוגדר בתור המימד של המרחב העצמי המתאים לע"ע זה. לפיכך, [math]\displaystyle{ m_{1}=dimN(A-I)=dimN\begin{pmatrix} 0 &1 &1 \\ 0 &0 &1 \\ 0 &0 & 1 \end{pmatrix}=dim(Sp\left \{ e_{1} \right \})=1 }[/math]

ה.הפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ולכן קיימת צורת ז'ורדן ל-A. מס' הבלוקים הקשורים לכל ע"ע שווה לריבוי הגיאומטרי שלו, ולכן לכל אחד מהע"ע יש בלוק אחד. A היא מסדר 3, ולכן צורת הז'ורדן שלה היא מסדר 3, והיא מכילה בלוק מסדר 2 ובלוק מסדר 1. הסדר של הבלוק הגדול ביותר (ובמקרה זה, גם היחיד) של כל ע"ע למדה הוא החזקה של הגורם [math]\displaystyle{ (x-\lambda) }[/math] בפולינום המינימאלי של A. לכן, הבלוק הקשור לע"ע 2 הוא מסדר 1 והבלוק הקשור לע"ע 1 הוא מסדר 2. לסיכום, צורת הז'ורדן של A היא [math]\displaystyle{ J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} }[/math]

דרך כמו שרשום בחוברת

הבלוק הכי גדול של 1 הוא בסדר [math]\displaystyle{ \max\left\{ k|\left(x-1\right)^{k}/m_{A}\left(x\right)\right\}=2 }[/math]

ולכן יש בלוק [math]\displaystyle{ J_{2}(1) }[/math] והריבוי ו2 הוא שורש של הפולינום האופייני ולכן יש בלוק [math]\displaystyle{ J_{m}(2) }[/math]

אבל נשאר מקום רק עבור בלוק מסדר 1

ולכן צורת הז'ורדן של A היא [math]\displaystyle{ J=J_{2}(1)\oplus J_{1}(2)=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} }[/math]