הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ג, מועד ב,"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "1) נכון. זאת ההגדרה. 2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן ...") |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה. | 2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה. | ||
+ | |||
+ | 5) הוכחה: יהי <math> \epsilon>0</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n+b_n=a+b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n+b_n-(a+b)|<\epsilon | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n \to \infty }{}a_n-b_n=a-b\Rightarrow \exists N_1 \in \mathbb{N}:\forall n \in \mathbb{N}: (n\geq N\rightarrow |a_n-b_n-(a-b)|<\epsilon )</math> | ||
+ | |||
+ | <math>N\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}max\left \{ N_1,N_2 \right \}</math>. | ||
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה <math>f|_{R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD) | 6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה <math>f|_{R^+}</math> היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD) | ||
שורה 11: | שורה 20: | ||
− | 7) הפרכה: נתבונן בפונ' f(x)=\left\{\begin{matrix} | + | 7) הפרכה: נתבונן בפונ' |
+ | <math> | ||
+ | f(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
1 &x\geq 3 \\ | 1 &x\geq 3 \\ | ||
-1 & x<3 | -1 & x<3 | ||
− | \end{matrix}\right בקטע <math>I=\mathbb{R}</math>. ברור ש<math>f</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי. | + | \end{matrix}\right. |
+ | </math> | ||
+ | בקטע <math>I=\mathbb{R}</math>. | ||
+ | |||
+ | ברור ש<math>f</math> אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל <math>f^2</math> היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי. |
גרסה מ־12:51, 1 בפברואר 2012
1) נכון. זאת ההגדרה.
2)נכון. נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים: מכיוון שהטור חיובי היא עולה במובן החלש (אינדוקצייה טריוויאלית - מוסיפים איברים אי-שליליים). נתון שהיא חסומה. סדרה זאת היא חסומה ומונוטונית ולכן מתכנסת, ולכן הטור מתכנס עפ"י הגדרה.
5) הוכחה: יהי .
.
6) הוכחה: רוצים להראות שהפונקצייה היא על. (זה שילוב סימנים מאינפי, בדידה ולינארית... XD)
יהי . נגדיר . , ואילו מכיוון ש , קיימת נקודה d עבורה . לפי משפט ערך הביניים, יש נקודה בקטע שבה , כלומר !
7) הפרכה: נתבונן בפונ'
בקטע .
ברור ש אינה רציפה ב3, משום שהגבולות החד-צדדיים שונים, אבל היא קבועה ולכן רציפה בכל הישר הממשי.