הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
(←מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים) |
(←הוכחה) |
||
שורה 28: | שורה 28: | ||
ולכן הטור מתבדר. | ולכן הטור מתבדר. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>. | ||
+ | |||
+ | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math> | ||
+ | |||
+ | *לכן <math>a_n<\Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math> | ||
+ | |||
+ | *אבל <math>\sum \Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס | ||
+ | |||
+ | *לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד. |
גרסה מ־09:49, 2 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה,
- לכן
- אבל הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.