הלמה של קנטור

חזרה למשפטים באינפי

הלמה של קנטור

תהי [math]\displaystyle{ I_n }[/math] סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2\supseteq ... }[/math], כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה c הנמצאת בכל הקטעים.

הוכחה

נסמן [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math]. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה וחסומה על ידי [math]\displaystyle{ b_1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית יורדת וחסומה על ידי [math]\displaystyle{ a_1 }[/math].

לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיוון שאורך הקטעים שואף לאפס, [math]\displaystyle{ \lim |b_n-a_n|=0 }[/math] ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה

[math]\displaystyle{ c=\lim a_n=\lim b_n }[/math]

מקיימת את הדרוש.

נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש [math]\displaystyle{ c\notin [a_k,b_k] }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ c\lt a_k }[/math] או [math]\displaystyle{ c\gt b_k }[/math] וכיוון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ-c בסתירה. ([math]\displaystyle{ \lim a_n \geq a_k \gt c }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim b_n \leq b_k \lt c }[/math].)

לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת [math]\displaystyle{ c\neq d }[/math] השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות [math]\displaystyle{ |d-c|\gt 0 }[/math] בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.