מספרים ברי בנייה

מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה

משפחה מיוחדת של בעיות בגיאומרטיה אוקלידית היא בעיות בנייה. לדוגמא:

• כיצד ניתן לצייר (באופן מדוייק) מחומש משוכלל?
• בהינתן מעגל במישור, כיצד ניתן למצוא (=לצייר) את המרכז שלו?
• בהינתן זווית במישור, כיצד ניתן לחלק אותה לשניים?

בעיות אלו ועוד רבות אחרות עניינו גיאומטריקנים כבר מלפני הספירה. לרשותם עמדו מספר כלים פשוטים: סרגל ומחוגה. אנו נניח כי הסרגל הוא ללא שנתות. בדיקה תראה כי אכן ניתן לבצע כל אחת מהמשימות שתוארו לעיל בעזרת הכלים הללו בלבד.

מבחינה מתמטית, אנו מתחילים עם מספר אובייקטים גיאומטריים שכבר בנויים לנו, ואנו רשאים לבנות מהם אובייקטים חדשים על ידי הפעולות הבאות:

• לבנות ("לסמן") את נקודות החיתוך בין:

א. שני ישרים שכבר בנינו

ב. ישר שבנינו ומעגל שבנינו

ג. שני מעגלים שבנינו

• לבנות ישר העובר דרך שתי נקודות שכבר בנינו (את זה אפשר "לעשות עם סרגל").
• לבנות מעגל שמרכזו בנקודה שבנינו ושעובר דרך נקודה שבנינו (את זה אפשר "לעשות עם מחוגה").

הערה: שימו לב שבונים רק ישרים, נקודות ומעגלים. כל דבר אחר שבונים ניתן לתיאור כבנייה של ישרים\נקודות\מעגלים המקיימים תכונה מסויימת. לדוגמא: קטע הוא ישר ושתי נקודות עליו, זווית היא שני ישרים ונקודת החיתוך ביניהם. דוגמא אחרת: כשמדברים על בניית מחומש בעצם מתכוונים לבנייה של חמישה ישרים.

תרגיל: הראו איך לבצע את הבניות הבאות:

1. בהינתן שתי נקודות, לבנות את אמצע הקטע המחבר אותן.

2. בהיתן קטע AB, לבנות ישר המאונך ל-AB ועובר דרך A.

3. בהינתן ישר L ונקודה P, לבנות מקביל ל-L העובר דרך P.

4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.

מעכשיו, כאשר נאמר שמשהו גיאומטרי הוא בר בנייה הכוונה היא שהוא בר בנייה בעזרת סרגל ומחוגה.

הגדרה ותכונות

קיימות מספר הגדרות שקולות למספרים ברי בנייה:

• מספר ממשי חיובי [math]\displaystyle{ r\geq 0 }[/math] נקרא בר בנייה אם, בהינתן קטע באורך 1, ניתן לבנות קטע באורך [math]\displaystyle{ r }[/math].
• מספר מרוכב [math]\displaystyle{ c=a+ib }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math]) נקרא בר בנייה אם בהינתן הנקודות [math]\displaystyle{ (0,0),(0,1) }[/math] במישור [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] ניתן לבנות את [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].
• מספר מרוכב [math]\displaystyle{ c=a+ib }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math]) נקרא בר בנייה אם [math]\displaystyle{ |a|,|b| }[/math] ברי בנייה.

תרגיל: הוכיחו ישירות ש-[math]\displaystyle{ \sqrt{2},\sqrt{5} }[/math] ברי בנייה.

ניתן גיאומטרית שכל מספר רציונלי הוא בר בנייה. יותר מכך, לכל [math]\displaystyle{ a,b }[/math] ברי בנייה מתקיים שגם [math]\displaystyle{ ab,a+b,a-b,a/b,\sqrt{a} }[/math] ברי בנייה. לכן, אוסף המספרים ברי הבניה הוא תת שדה של [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] ושדה זה סגור תחת הוצאת שורש ריבועי ותחת צמוד מרוכב.

משפט: התנאים הבאים שקולים עבור [math]\displaystyle{ a\in \mathbb{C} }[/math]:

א. [math]\displaystyle{ a }[/math] בר בנייה.

ב. קיים מגדל שדות [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}=L_0\subseteq L_1\subseteq\dots\subseteq L_r }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a\in L_r }[/math] וגם [math]\displaystyle{ [L_i:L_{i=1}]=2 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0\lt i\leq r }[/math].

ג. קיימת הרחבת גלואה [math]\displaystyle{ L/\mathbb{Q} }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ a\in L }[/math] וגם [math]\displaystyle{ [L:\mathbb{Q}] }[/math] חזקת 2.

ד. סגור גלואה של [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}[a]/\mathbb{Q} }[/math] הוא ממימד [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math].

הערה: הדעות חלוקות לגבי מה הוכחתם בהרצאה. בטוח הוכחתם ש-א שקול ל-ב. בתרגילי הבית הוכחתם ש-ב שקול ל-ג. העובדה ש-ג שקול ל-ד היא תרגיל טריוויאלי למדי.

הערה: מהמשפט נובע גם שכל מספר בר בנייה הוא אלגברי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]. לדוגמא, נובע ש-[math]\displaystyle{ \pi }[/math] אינו בר בנייה!

דוגמא: [math]\displaystyle{ \sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}} }[/math] הוא בר בנייה כי [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}] }[/math] הוא מגדל שדות המקיים את תנאי המשפט ב-ב. (כמובן שהרבה יותר קל להוכיח את זה עם העובדה שאוסף המספרים ברי הבנייה הוא שדה שסגור להוצאת שורש...)

שימוש באפיון האלגברי של מספרים ברי בנייה

המשפט האחרון מאפשר להכריע באופן אלגברי האם בניות מסויימות אפשריות או לא.

דוגמא: בהינתן עיגול לא ניתן לבנות ריבוע בעל שטח זהה לשטח העיגול ("לא ניתן לרבע את המעגל").

הסבר: בלי הגבלת כלליות ניתן להניח כי רדיוס העיגול הוא 1. אזי עלינו לבנות ריבוע בעל שטח [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. אם זה אפשרי, אז אורך צלע הריבוע, [math]\displaystyle{ \sqrt{\pi} }[/math], יהיה בר בנייה. זה בלתי אפשרי לפי המשפט לעיל כי [math]\displaystyle{ \sqrt{\pi} }[/math] לא אלגברי (וזאת משום שאחרת, [math]\displaystyle{ \pi }[/math] היה אלגברי).

דוגמא: לא קשה לראות שניתן לבנות מצולע משוכלל עם [math]\displaystyle{ n }[/math] צלעות אם ורק אם [math]\displaystyle{ \rho_n=\exp(2\pi i/n) }[/math] בר בנייה. לפי המשפט, זה שקול לכך שהמימד של סגור גלואה של [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] הוא חזקת 2. היות ו-[math]\displaystyle{ \mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q} }[/math] כבר גלואה, זה שקול לכך ש-[math]\displaystyle{ \varphi(n)=[\mathbb{Q}[\rho_n]:\mathbb{Q}] }[/math] הוא חזקת 2.

מסקנה: לא ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 7 צלעות כי [math]\displaystyle{ \varphi(7)=6 }[/math] (שאינו חזקת 2). מצד שני, ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 17 צלעות כי [math]\displaystyle{ \varphi(17)=16 }[/math].