המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

המשפט

תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. נגדיר גם: [math]\displaystyle{ \forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt }[/math] . אזי מתקיים:

א) [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] רציפה.

ב)לכל [math]\displaystyle{ x_{0} \in [a,b] }[/math] שבו [math]\displaystyle{ f(x_{0}) }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] גזירה ו- [math]\displaystyle{ A'(x_{0})=f(x_{0}) }[/math].

ג) אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] רציפה בכל [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math].

הוכחה

סעיף א'

נקח [math]\displaystyle{ x \in [a,b] }[/math] כלשהו ו-[math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] "קטן" כך ש-[math]\displaystyle{ x+\Delta x \in [a,b] }[/math]. לפי הגדרה:[math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)=\int_{a}^{x+\Delta x} f(t)dt }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt }[/math]. נתון ש-f חסומה, נגיד [math]\displaystyle{ |f(x)| \leq M }[/math].

לכן מתקיים [math]\displaystyle{ |A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x| }[/math].

כעת נשאיף את [math]\displaystyle{ \Delta x \to 0 }[/math], אגף ימין שואף ל-0 . לכן:

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0 }[/math] ומכך נובע ש:

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0 }[/math] ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}A(x+ \Delta x)= A(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

סעיף ב'

כאן מניחים ש- [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] רציפה בנקודה [math]\displaystyle{ x_{0} \in [a,b] }[/math] כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי [math]\displaystyle{ A'(x_{0}) }[/math] קיימת ושווה ל- [math]\displaystyle{ f(x_{0}) }[/math]. נחזור לפונקציה [math]\displaystyle{ A(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt }[/math]. בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר [math]\displaystyle{ \Delta x \to 0 }[/math] , מתקיים בהכרח:

[math]\displaystyle{ \frac{A(x_{0}+\Delta x)-A(x_{0})}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt \to f(x_{0}) }[/math]

טענה נוכיח כי [math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}f(t)dt=f(x_{0}) }[/math] .

נעיר קודם כל כי מתקיים: [math]\displaystyle{ \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})dt=f(x_{0}) \Delta x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(x_{0})=f(x_{0}) }[/math].

כעת נראה כי הביטוי מתאפס: [math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0 }[/math]

יהי [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]. אזי קיים [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ |\Delta x|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ |\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|\lt \epsilon }[/math]

כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד לכן:

[math]\displaystyle{ |\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|\lt M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M }[/math]

ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-[math]\displaystyle{ f(x_{0}) }[/math], ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-[math]\displaystyle{ f(x_{0}) }[/math], מכאן נובע [math]\displaystyle{ A'(x_{0})=f(x_{0}) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

סעיף ג'

ידוע כי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על כל [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], ולכן ע"פ סעיף ב', [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math]. נתון גם כי [math]\displaystyle{ F }[/math] פונקציה קדומה של [math]\displaystyle{ f }[/math], ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים [math]\displaystyle{ F(x)=A(x)+c }[/math] עבור c כלשהו.

לכן: [math]\displaystyle{ F(b)-F(a)=[A(b)+c]-[A(a)+c]=A(b)-A(a)=\int_{a}^{b} f(x)dx- \int_{a}^{a} f(x)dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int_{a}^{b} f(x)dx-0=\int_{a}^{b} f(x)dx }[/math]

ולכן בסך הכל :[math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) }[/math].

[math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]