אינטגרל לא מסויים/דוגמאות

1

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c }[/math]

2

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}} }[/math]

השלמה לריבוע והצבה ראשונה:

הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:

[math]\displaystyle{ x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9 }[/math]

ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: [math]\displaystyle{ u=x-2 }[/math], וכמובן קל להבין כי [math]\displaystyle{ dx=du }[/math].

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}} }[/math]

פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):

ניעזר בתכונות של [math]\displaystyle{ sinh(x) }[/math] ושל [math]\displaystyle{ cosh(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ (cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx }[/math]

וכן בזהות: [math]\displaystyle{ cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1 }[/math]

הצבה שנייה:

נציב: [math]\displaystyle{ u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+constant }[/math]

ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:

3

האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)

[math]\displaystyle{ \int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix} t=tanx\\ dt=\frac{dx}{cos^{2}(x)} \end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix} sin^{2}x=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\\ cos^{2}x=\frac{1}{t^{2}+1} \end{Bmatrix} =\int \frac{(\frac{t^{2}}{t^{2}+1})^{2}}{\frac{1}{(t^2+1)^{4}}}dt= }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx =\int \frac{(\frac{t^{2}}{t^{2}+1})^{2}}{\frac{1}{(t^2+1)^{4}}}dt=\int t^{4}(t^{2}+1)^{2}dt=\cdots =\frac{t^{9}}{9}+\frac{2t^{7}}{7}+\frac{t^{5}}{5}+c }[/math]