<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+c</math>
==6==
<math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx</math>
===פתרון===
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
<math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}
du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\
v=arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}}
\end{Bmatrix}
=-e^{-x}arctan(e^{x})+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math>
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
<math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix}
t=e^{2x}\\
dt=2tdx
\end{Bmatrix}=
\int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=ln|2t|-ln|2t+2|+c=ln(2e^{2x})-ln(2e^{2x}+2)+c</math>
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.