שיחה:88-212 תשעב סמסטר ב/תרגילים

זה המקום לכל השאלות בנושא הקורס. הודעות תוכלו למצוא בדף הראשי של הקורס.

הנחיות

1. כשאתם מתייחסים לתרגיל, אנא צטטו.
2. אנא המנעו מלפתוח כותרות חדשות שלא לצורך.
3. חותמים בסוף כל הודעה באמצעות "~~~~. פתיחת חשבון - חינם.

שאלות

תרגיל 1

ההגדרות בהרצאה ובתרגול היו קצת שונות. כשכתוב בשיעורי בית חוג- הכוונה שיש יחידה או שלא בהכרח? Tomer Yogev 23:34, 21 במרץ 2012 (IST)

בתרגיל הבית הכוונה לחוג לאו דוקא עם יחידה. השאלה האחרונה הייתה חסרת משמעות אחרת. בשאלה 2, אם קבעתם שהחוג הוא חוג עם יחידה אז אמרו מהי היחידה, ואם קבעתם שהחוג הוא בלי יחידה אז פשוט אימרו זאת. Adam Chapman 12:00, 25 במרץ 2012 (IST)

תרגיל 1 שאלה 2

מי זה בדיוק A וB? למי הם שייכים?

מדובר באברים כלליים בקבוצה המועמדת להיות חוג, ונועדו להדגים את הפעולות שמועמדות להיות החיבור והכפל בחוג (אם זהו אכן חוג).

תרגיל 1 שאלה 5

אפשר להסביר מי זה Z3 x Z4? אני לא מצליחה להבין מה יש בחוג הזה. תודה!

Zn הוא חוג השאריות מודולו n. המספרים הם בין 0 לְ-n-1 והחיבור והכפל 'כרגיל', רק מודולו n.

המכפלה של חוגים - כפי שהוגדרה בהרצאה (הקבוצה היא המכפלה הקרטזית, הפעולות נעשות אבר-אבר).

פורמלית, זה חוג המנה Z/nZ.

אבל אם אני אכפיל 2X3 אז למה זה שווה? באיזה מודולו אני משתמשת? 3, 4, 12?

זה זוגות סדורים. (2,3) זה פשוט (2,3).

הפעולות נעשות אבר־אבר. הרכיב השמאלי מחושב מודולו 3 ואִלו הימני - מודולו 4.

תרגיל 2 שאלה 6

האם הכוונה להומומורפיזם יוניטרי? אם לא אז תמיד קיים הומומורפיזם האפס. אם כן, האם במקרה של הפרכה מספיק להראות מקרה שבו לא קיים הומומורפיזם או שצריך להראות שבאף מקרה לא קיים (אם זה בכלל המצב)?

הכוונה להומומורפיזם לאו דוקא יוניטרי שאינו הומומורפיזם האפס. אם המצב הוא שבאף מקרה לא קיים אז צריך לרשום זאת ולהסביר למה. אני מעלה עכשיו תיקון.Adam Chapman 18:18, 5 באפריל 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 4ב'

יכול להיות שהכוונה היא שC מוכלת בX ולא בP(X)?

אמת. אני מעלה תיקון.Adam Chapman 18:21, 5 באפריל 2012 (IDT)

שאלה (מצטער על הבורות): מה ההגדרה של חבורה חיבורית ותת חבורה חיבורית? תודה וחג שמח!!!

כזכור, החוג הוא מבנה הכולל קבוצה ('תשתית') ושני סמלי פונקציה, 'חבור' ו'כפל', כך שלגבי פעולת החבור מדובר בחבורה אבלית [ולגבי הכפל מדובר במונואיד (אם בלי יחידה, אגודה) ה'מודבק' בעזרת פלוג על החבור]. חבורה זו נקראת 'החבורה החבורית' של אותו חוג. בהתאמה, תת-קבוצה של התשתית, או של 'קבוצת החוג' (יש בעיה לומר 'תת קבוצה של חוג' כי החוג איננו קבוצה) המהווה תת-חבורה לגבי החבור של החבורה החבורית של החוג, תקרא תת-חבורה חבורית.

אידיאלים בחוג הפולינומים בשני משתנים

שאלה. "בהרצאה האחרונה הזכרת את החוג [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[X,Y] }[/math] שבו יש פולינומים עם שני משתנים כאשר המקדמים שייכים לשדה המספרים המרוכבים. האם תוכל לומר לי בבקשה כיצד נראים איברי חוג המנה של החוג הזה מעל האידיאל <x^2+y^2-1>?

תשובה. פורמלית זו שאלה די קלה. [math]\displaystyle{ \ \mathbb{C}[X,Y] = \mathbb[X][Y] }[/math], כלומר, חוג הפולינומים במשתנה Y, שהמקדמים שלהם בעצמם פולינומים במשתנה X. חוג המנה הוא ביחס לאידיאל הנוצר על-ידי [math]\displaystyle{ \ Y^2+(X^2-1) }[/math], כלומר, בחוג המנה מתקיים השוויון [math]\displaystyle{ \ Y^2 = 1-X^2 }[/math], ולכן אפשר להמיר כל חזקה זוגית של Y בפולינום ב-X, וכל חזקה אי-זוגית בכפולה של Y בפולינום כזה. לכן אפשר לכתוב כל איבר בחוג המנה (באופן יחיד) בצורה [math]\displaystyle{ \ f+gY }[/math] כאשר f,g פולינומים ב-X, והכפל הוא באופן המובן מאליו, עם החוק הנוסף [math]\displaystyle{ \ Y^2 = 1-X^2 }[/math].

אבל השאלה הנכונה היא לא "איך נראים האיברים", אלא מהו החוג. האם החוג הזה הוא תחום שלמות? שדה? נראה שהוא תחום שלמות אבל אינו שדה.

בחוגי פולינומים *מעל שדה* קל לטפל (כפי שעוד נלמד בהמשך), וגם במקרה שלנו כדאי להתחיל את התשובה בהכלה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{C}[X][Y] \subset \mathbb{C}(X)[Y] }[/math]. היתרון הוא שעכשיו מדובר בפולינומים ב-Y, עם מקדמים מה*שדה* של הפונקציות הרציונליות ב-X. הפולינום שלנו אי-פריק מעל השדה הזה (אין לו שורשים שם: [math]\displaystyle{ \ \sqrt{1-X^2} }[/math] אינו פולינום), ולכן המנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{C}(X)[Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle }[/math] היא שדה. מכיוון שחוג המנה [math]\displaystyle{ \ \mathbb{C}[X,Y]/\langle Y^2+X^2-1\rangle }[/math] מוכל בחוג הקודם, הוא תחום שלמות, ולכן האידיאל שלנו ראשוני. אבל המנה אינה שדה, משום שהאידיאל הזה אינו מקסימלי: הוא מוכל למשל באידיאל המקסימלי [math]\displaystyle{ \ \langle X, Y-1\rangle }[/math] או ב-[math]\displaystyle{ \ \langle X-1, Y\rangle }[/math] (ובאינסוף אידיאלים מקסימליים אחרים). עוזי ו. 23:24, 21 באפריל 2012 (IDT)

שאלה על חוגים בלי יחידה

נניח ש-R חוג קומוטטיבי. כידוע, אידיאל הוא תת-חבורה הסופגת כפל מבחוץ. כלומר, היא צריכה להיות סגורה לחיבור, לפעולת הנגדי, ולכפל מבחוץ. מכיוון שלחוג יש איבר יחידה, הסגירות לכפל מבחוץ גוררת את הנגדי: [math]\displaystyle{ \ -a = (-1)\cdot a }[/math].

אני מחפש דוגמא נגדית לטענה דומה עבור חוגים בלי יחידה. כלומר, מבוקשים חוג בלי יחידה R ותת-קבוצה לא ריקה I, הסגורה לחיבור ולכפל מבחוץ, אבל אינה אידיאל (משום שיש בה איבר a שהנגדי לו אינו ב-I). עוזי ו. 23:59, 21 באפריל 2012 (IDT)

Z עם כפל טריוויאלי: a*b=0 לכל a,b. לקחת בתור התת קבוצה את הטבעיים עם 0?

ובכן, במקרה זה, זהו חוג קצת 'מנוון'. כדי לפתור את הבעיה נוכל לכפול את החוג הזה בחוג אחר (נאמר חוג השלמים), ולקחת את תת הקבוצה של הטבעיים עם 0 כפול {0}.

תרגיל 5 שאלה 2

למה נדרש התיקון שהחוג קומוטטיבי? האם הטענה אינה נכונה לכל חוג כללי? הרי תמיד מתקיים ש- I*J מוכל ב- I חיתוך J לכל שני אידיאלים דו צדדיים. --Sagiv 16:50, 4 במאי 2012 (IDT)

זה נכון. אפשר להוכיח זאת גם במקרה הלא קומוטטיבי. היה נדמה לי לרגע שזה יקל להגביל את השאלה לחוגים קומוטטיביים, אך במחשבה שניה זה לא היה חיוני.Adam Chapman 00:02, 16 במאי 2012 (IDT)

שאלה מההרצאה

כתבנו בהרצאה שבחוג z[sqrt(-6)] qq אין איברים עם נורמה 2+-, 3+-, ולכן האיברים 2,3,sqrt(-6) הם אי פריקים.. לא הבנתי ממש איך הגענו לזה, ואיך נובע מכך שהאיברים הם אי פריקים. תודה מראש :)

נורמה של אבר כללי בחוג המתואר היא מהצורה a^2+6b^2. רואים שלא יכול להתקבל כאן ערך שהוא 2+- או 3+- (כי b חייב להיות אפס, ושורש 2 ושורש 3 אינם שלמים). מכאן שכל פרוק של 2, למשל, המקבל נורמה 4, יהיה טריוויאלי (כי אחד המחלקים של 4 יהיה יחידה בחוג השלמים). באופן דומה עבור 3 ועבור 6-.

---

שאלה: אמנם בכיתה לא התייחסנו למקרה הזה כי לא הוא מעניין, אבל האם איבר הפיך נחשב אי פריק?

לפי הגדרה 3.2.22 בחוברת של פרופ' וישנה בגרסת 1 במרץ, אבר אי פריק הוא בראש ובראשונה שונה מאפס ולא הפיך.

בתרגיל 7, שאלה 2

יש להוסיף כי D איננו 1 וחפשי מרבועים (אלא אם כן זה אפריורי).

זה נכון. למען האמת, מספיק להניח ש[math]\displaystyle{ d }[/math] איננו ריבוע של מספר שלם (כי אחרת החוג שמדובר בו איננו תחום כלל). זה לא אמור לשחק תפקיד בשום מקום בפיתרון.Adam Chapman 23:54, 15 במאי 2012 (IDT)

נשים לב גם ש-1 עצמו הוא רבוע של שלם ושקול לעצמו מודולו 4, אך יוצר UFD. בפרט, חייבים להשתמש בנתון זה.

שאלה מההרצאה האחרונה (עם אדם)

כשרצינו להוכיח שעבור איבר P ראשוני טבעי, אם יש איבר X בz[i] כך שהנורמה שלו היא P - זה גורר שp לא ראשוני בz[i], אמרנו שp שווה למכפלה של X בצמוד שלו, ולכן P פריק. למה זה אומר שP פריק? מי אמר שX או הצמוד שלו לא הפיכים?

אם הנורמה של x היא p, היא לא הפיכה ולכן x איננו הפיך (כמו כן, הנורמה של x שווה לנורמת הצמוד לו).

תרגיל בית מספר 8, שאלה 2

הפולינום הנתון פריק מעל הרציונליים, ולכן איננו אי פריק מעליהם. אמנם, הוא אי פריק לגורמים לינאריים מעל הרציונליים, אך אין בכך כדי לומר שהוא אי פריק שם.

אכן יש בעיה עם השאלה. תודה. נעלה תיקון בימים הקרובים. Adam Chapman 00:10, 16 במאי 2012 (IDT)

הבעיה תוקנה.Adam Chapman 15:04, 18 במאי 2012 (IDT)

תרגיל בית מספר 7, שאלה 1

האם בסעיף ג' - S בעצמו הוא גם תחום שלמות? וגם - בשאלה 3, האם מספיק להראות שאגף ימין היא לא מכפלה של איברים אי פריקים? ולכן זה לא סותר את זה שהפירוק אינו יחיד..

בקשר לשאלה 1, התשובה היא כן. בקשר לשאלה 3, זהו צעד חשוב בתשובה אבל לא מספיק. צריך להראות שכאשר מפרקים כמו שצריך בצד שמאל לאיברים אי-פריקים, אז מקבלים את אותו הפירוק כמו בצד ימין.Adam Chapman 16:53, 16 במאי 2012 (IDT)

תודה. והאם בשאלה 4 צריך להראות ממש שהאיברים לא מתחלקים בזה בזה? (יש שם 4 עם אותה נורמה, אז עבור ארבעתם צריך להראות בעזרת עבודה שחורה?)

זאת לא עבודה קשה במיוחד. ישנה העובדה ש[math]\displaystyle{ a|b }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ a^{-1} b }[/math] נמצא בחוג כאשר המכפלה מחושבת בשדה השברים. במקרה שלנו לחשב את ההפכי של מספר זה פשוט הצמוד שלו חלקי הנורמה. זה לא יותר משורה לדעתי לכל זוג, ויש גם נימוק שאפשר להשתמש בו על מדוע כאשר בודקים שני מספרים מאותה נורמה מספיק להראות שאחד לא מתחלק בשני.Adam Chapman 15:10, 18 במאי 2012 (IDT)

לגבי הערה מהאתר

אפשר בבקשה להסביר למה הכוונה בהערה האחרונה שפורסמה באתר לגבי תרגיל מספר 7, שאלה 1?

הוסבר בתרגול האחרון עם אדם - אי פריק 'באמת' הוא אבר שאין לו פרוק 'אמתי', כלומר, כזה שחזק גם בשדה השברים.

הכוונה שלי היא לא להתבלבל עם ההגדרה של אי פריק "באמת". בתרגיל הבית, איבר אי פריק ב[math]\displaystyle{ R[x] }[/math] הוא איבר פשוט איבר אי פריק ב[math]\displaystyle{ R[x] }[/math], ולא שום דבר מעבר לזה (לא בשדה השברים ולא כלום). קיוויתי שזה יחסוך בלבול אך נראה לי שרק הגברתי את הבעיה. תשכחו מהעניין של אי-פריק "באמת" כשאתם עונים על תרגיל הבית הזה.Adam Chapman 15:06, 24 במאי 2012 (IDT)

שאלה

בהרצאה אמרנו (בהוכחה שאם R תחום פריקות יחידה אז גם R[x] תחום פריקות יחידה) שאם f פולינום אי פריק בR[x] אז בפרט f פרימיטיבי. למה זה?

אחרת, כל המונומים שלו היו מתחלקים בראשוני כלשהו p, ומכאן הפרוק - הפולינום שווה לְ־p כפול מה שנשאר. הפרוק אמתי כי p ראשוני ולכן לא הפיך, ומצד שני מניחים שדרגת הפולינום גדולה מאפס, ולכן p והפולינום אינם חברים.

אבל לא מדובר על פירוק מעל שדה השברים? "מה שנשאר" שייך לשדה השברים. (כמו למשל שיש משפט שf|g מעל R אם ורק אם התכולות מתחלקות וגם f^|g^ אבל מעל שדה השברים.)

"מה שנשאר" הוא פולינום. מעל שדה השברים הסקלרים (ובפרט p) הופכים להפיכים. מכל מקום, אנחנו השתמשנו בעובדה זו על מנת להראות שכל אי פריק מעל [R[x הוא ראשוני שם. איך מתגנב לכאן שדה השברים? יודעים שחוג הפולינומים מעל שדה הוא UFD, ויודעים שאם פולינום הוא אי פריק (ופרימיטיבי) מעל חוג UFD, הוא אי פריק מעל שדה השברים (זהו אחד מהנסחים של הלמה של גאוס שבאים לפני המשפט שבו אנחנו דנים). כעת, חוג הפולינומים מעל שדה השברים הוא UFD ולכן האי פריקות מתרגמת שם לראשוניות, שאותה, בתורה, נתן לתרגם שוב לראשוניות מעל [R[x (וכאן שוב משתמשים בפרימיטיביות של הפולינום).

שאלה

למה מודול מעל F[x]/<x^3> הוא מ"ו + אופרטור T כך שT^3=0? איבר כללי שם הוא מהצורה a+bx+cx^2, אך מה קורה עם T^3 של האיבר החופשי (a)? למה זה מתאפס?

כי להפעיל את T זה כמו להכפיל בx

חשוב לזכור שדורשים לא רק ש-T^3=0 אלא גם ש-T תתחלף עם העתקות הכפל בסקלרים מן השדה F. זאת מפני שהבניה של חוג הפולינומים מניחה ש-x מרכזי (בניגוד למקרה של פולינומים מוכללים, ששם לא מניחים זאת). הערה: כשחוג הבסיס הוא השלמים (ומוסיפים לו x), אין צורך לדרוש זאת, כי זה ממילא מתקיים מהגדרת הפעולה של חוג על מודול.

תמיד כשמדובר על אופרטור T מעל מ"ו (בכל הנוגע למודולים) זה הכפלה בX?

השאלה היא: מהי הכפלה ב-x? כלומר, נניח שנתון מודול מעל שדה (כלומר מרחב וקטורי). באופן אוטומטי, כל תת חוג של השדה פועל על המודול הזה. אבל מה קורה כשמעוניינים לעבור לחוג גדול יותר? רעיונית, אנחנו הולכים להרחיב את החוג, ובאינטראקציה שבין החוג למודול - להוסיף סקלרים. כלומר, צריכים להסביר למודול, שמכיר עד כה רק איך הסקלרים מהשדה המקורי F פועלים עליו, איך האברים החדשים פועלים עליו (למשל - x). במקרה זה צריכים 'לגלות' פעולות על המודול (כאן - אופרטורים לינאריים במרחב וקטורי) שתשמשנה כאינטרפרטציות לפעולות של האברים החדשים. מובן שהן צריכות לכבד את היחסים וההגבלות שנתונים בהם האברים הללו. בדוגמה שהובאה למעלה, היחס הוא x^3=0, כלומר, הפרשנות של פעולת x על המודול תהיה העתקה לינארית (כפעולה על מודול) המצייתת ליחס הזה.

כך גם בכיוון ההפוך. אם נתון לי מודול מעל [F[x מודולו x^3, אני יודע כי הסקלר x פועל כהעתקה לינארית T מהמודול לעצמו הכבולה להגבלה: T^3=0.

דוגמה: נתון מרחב וקטורי מעל הממשיים. מתי הוא מרחב וקטורי מעל המרוכבים? מבחינת המבנה, המרוכבים אינם אלא חוג הפולינומים מעל הממשיים מודולו x^2+1, כלומר, מרחב וקטורי מעל הממשיים הופך למרחב וקטורי מעל המרוכבים אם ורק אם קיים אופרטור לינארי עליו המתחלף עם פעולת הכפל במספרים ממשיים, כך ש-T^2=-id. אופרטור זה הינו הפרשנות שלנו למספר i (כפי שהוא פועל על המרחב הווקטורי), שאותו 'גילינו' כשהרחבנו את השדה המקורי.

כל מודול מעל שדה הוא מודול חופשי, או: ניסוח שקול לאקסיומת הבחירה

כדי להראות שכל מודול מעל שדה הוא חופשי צריך להראות שיש לו בסיס, כלומר תת קבוצה פורשת ובת"ל.

1.אכן, כל תת קבוצה בת"ל S שהיא מקסימלית לגבי יחס ההכלה בין תתי הקבוצות הבת"ל של המודול M היא פורשת. הסבר: נניח שהיא לא פורשת את x (אבר כלשהו מן המודול M) ונניח ש-S איחוד עם {x} ת"ל; אזי, ישנו צרוף לינארי לא טריוויאלי של אברי S ושל x המתאפס. אם המקדם של x בצרוף הזה מתאפס, קיבלנו צרוף לינארי לא טריוויאלי של אברי S המתאפס, בסתירה לכך ש-S בת"ל. לכן, המקדם של x (נאמר, a) בצרוף הלינארי הזה אינו מתאפס, ואז ax- הוא צרוף לינארי של אברי S. אבל a שונה מאפס, כאמור, ולכן נוכל לחלק בְּ-a- ולקבל את x כצרוף לינארי של אברי S, בסתירה לכך ש-S אינה פורשת את x. לכן, או ש-S פורשת את x לכל x מן המודול M (ואז סיימנו) או ש-S בכל זאת אינה פורשת את x, אבל S איחוד עם {x} אינה ת"ל (ואז היא בת"ל); אבל S מוכלת ממש ב-S איחוד עם {x}, כי x אינו שייך ל-S, וזאת בסתירה למקסימליות של S לגבי יחס ההכלה בין תתי הקבוצות הבת"ל של המודול M.

2. אוסף תתי הקבוצות הבת"ל של M הוא קבוצה סדורה חלקית (לגבי יחס ההכלה). לכל שרשרת של תתי קבוצות בת"ל של M, האיחוד של כולן הוא גם תת קבוצה בת"ל של M (מפני שכל צרוף לינארי של אברים מן האיחוד הוא סופי, מטבעו, ולכן *יש* תת קבוצה השייכת לשרשרת שמכילה את כל אברי הצרוף הלינארי. בפרט, אם צרוף לינארי לא טריוויאלי מאברי איחוד השרשרת היה מתאפס, הוא היה סותר את האי-תלות הלינארית של אותה תת קבוצה השייכת לשרשרת ומכילה את כל אברי הצרוף) ומהווה חסם של כל אברי השרשרת. לכן, לפי הלמה של צורן, ישנו אבר מקסימלי. כלומר, ישנה תת קבוצה בת"ל של M שהיא מקסימלית לגבי יחס ההכלה. אבל לפי 1, היא פורשת, ולכן מהווה בסיס. מכאן, שהמודול M הוא מודול חופשי.

הערה I: בהינתן תת קבוצה פורשת של M ניתן להתבונן באוסף תתי הקבוצות של M שהן בת"ל ומוכלות ב-M. גם שם ההוכחה תופשת, ומכאן שכל תת קבוצה פורשת של M מכילה בסיס. זוהי תוצאה חזקה יותר מכך שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, וניתן לקבל את האחרונה מהראשונה על ידי בחירת M כתת קבוצה של עצמה שהיא פורשת (ולכן מכילה בסיס).

הערה II: בהינתן תת קבוצה בת"ל של M ניתן להתבונן באוסף תתי הקבוצות של M שהן בת"ל ומכילות את M. גם שם ההוכחה תופשת, ומכאן שכל תת קבוצה בת"ל של M מוכלת בבסיס. זוהי תוצאה חזקה יותר מכך שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, וניתן לקבל את האחרונה מהראשונה על ידי בחירת הקבוצה הריקה כתת קבוצה של המודול שהיא בת"ל (ולכן מוכלת בבסיס).

הערה III: כל מודול מעל חוג עם חילוק הוא חופשי. (אולי) במפתיע, גם שם הדרגה מוגדרת היטב (בדומה למקרה של חוגים קומוטטיביים שהוצג בהרצאה).

הערה IV: לגבי מודולים מעל חוג כללי, קבוצה בת"ל L שהיא מקסימלית לגבי ההכלה היא 'פורשת ראשיוּת', כלומר, לכל x מן המודול יש a מן החוג כך ש-L פורשת את ax (הוכחה כמו של 1, עד לפני השלב שבו מחלקים ב-a). בפרט, בחוגים עם חילוק ניתן לחלק באותו a ולקבל פרישה במובן הרגיל.

הערה V: נשים לב שהסתמכנו על אקסיומת הבחירה (בתחפושת הלמה של צורן) בהוכחה שכל מודול מעל שדה הוא חופשי. האם יכולנו להוכיח זאת ללא שימוש באקסיומת הבחירה? בלאס הוכיח, בשנות השמונים, כי אם מניחים שכל מודול מעל שדה הוא חופשי, אפשר להוכיח (בעזרת האקסיומות של צרמלו פרנקל, וכמובן ללא אקסיומת הבחירה) את אקסיומת הבחירה. כך, הופכת הטענה כי כל מודול מעל שדה הוא חופשי לניסוח שקול לאקסיומת הבחירה במסגרת האקסיומטית של ZF ובפרט לא ניתן להוכיח את הטענה כי כל מודול מעל שדה הוא חופשי בלי להניח את אקסיומת הבחירה (במסגרת האקסיומטית הזאת). להוכחתו של בלאס: http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf

סחף

שאלה

תרגיל 10 הוא האחרון, נכון?

כן.Adam Chapman 14:32, 3 ביוני 2012 (IDT)

טעות בתרגיל 9?

בתרגיל 9 בשאלה 6 צריך להראות שR1 הוא קבוצת האיברים השונים מ0 בR. זה לא תמיד נכון, לדוגמה אם R חוג פשוט שאינו שדה.

יועלה תיקון בימים הקרובים.Adam Chapman 14:32, 3 ביוני 2012 (IDT)

אם מניחים כי החוג קומוטטיבי, הכל תקין. גם לא דברנו עד כה על חוגים אוקלידיים שאינם קומוטטיביים (ליתר דיוק, שאינם תחומי שלמות).

בחלק הראשון של השאלה לא כתוב שR קומוטטיבי ואין שם קשר לאוקלידיות.