הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"
מתוך Math-Wiki
(←3) |
(←4) |
||
שורה 67: | שורה 67: | ||
'''פתרון''': | '''פתרון''': | ||
+ | |||
+ | ראשית, נשים לב כי <math>cos^2(x)= \frac{cos(2x)-1}{2}</math>. | ||
+ | |||
+ | שנית, נזכר או נפתח את הטור <math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math> | ||
+ | |||
+ | וביחד נקבל | ||
+ | |||
+ | <math>cos^2(x)=\frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} - 1]= | ||
+ | \frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 4^n}{(2n)!} x^{2n} - 1] | ||
+ | |||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף. |
גרסה מ־15:16, 19 ביולי 2012
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיוון ש
וכיוון ש מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.
4
מצאו את טור מקלורין של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.