הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"
(←ב) |
(←4) |
||
שורה 67: | שורה 67: | ||
'''פתרון''': | '''פתרון''': | ||
− | ראשית, נשים לב כי <math>cos^2(x)= \frac{cos(2x) | + | ראשית, נשים לב כי <math>cos^2(x)= \frac{cos(2x)+1}{2}</math>. |
שנית, נזכר או נפתח את הטור <math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math> | שנית, נזכר או נפתח את הטור <math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}</math> | ||
שורה 73: | שורה 73: | ||
וביחד נקבל | וביחד נקבל | ||
− | <math>cos^2(x)=\frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} | + | <math>cos^2(x)=\frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} + 1]= |
− | \frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 4^n}{(2n)!} x^{2n} | + | \frac{1}{2}[\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n 4^n}{(2n)!} x^{2n} + 1] |
</math> | </math> | ||
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף. | קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף. | ||
− | |||
==5== | ==5== |
גרסה מ־02:16, 22 ביולי 2012
תוכן עניינים
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיוון ש
וכיוון ש מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.
4
מצאו את טור מקלורין של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.
5
נגדיר סדרת פונקציות
א
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:
נגזור על מנת למצוא את המקסימום:
הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות
,
ולכן
ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.
ב
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).
6 במבחן של הורוביץ
הוכח כי הפונקציה רציפה בכל הממשיים
פתרון:
6 במבחן של שיין
(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) נתון שקיים כך ש- לכל . הוכיחו בעלת השתנות חסומה בקטע.
פתרון
- מתקיים ולכן