מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5

חזרה

משפט דה-מואבר

מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:

[math]\displaystyle{ r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2) = r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]

כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.

הוכחה:

[math]\displaystyle{ r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2)=r_1r_2[(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)]= }[/math]

[math]\displaystyle{ =r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+ i(sin\theta_1cos\theta_2+sin\theta_2cos\theta_1)]= }[/math]

[math]\displaystyle{ =r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2) }[/math]

מסקנה: משפט דה-מואבר

[math]\displaystyle{ \Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta) }[/math]

מציאת השורשים למשוואה מהצורה:

[math]\displaystyle{ z^n=rcis\theta }[/math]

נוסחא: כל השורשים הם מהצורה [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n}) }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ k=0,1,2,...,n-1 }[/math]

תרגיל:

מצא את כל הפתרונות למשוואה [math]\displaystyle{ z^4=1 }[/math]

פתרון:

נסמן [math]\displaystyle{ z=rcis\theta }[/math]. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:

[math]\displaystyle{ \Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ r^4cis(4\theta)=cis(0) }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ r=\sqrt[4]{1}=1 }[/math]. ו-[math]\displaystyle{ \theta }[/math] היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.

הזויות המקיימות את זה הן: [math]\displaystyle{ 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2} }[/math]

כיצד ניתן לחשב את כולן?

נסמן [math]\displaystyle{ cis(0)=cis(0+2\pi k) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ 3\theta = 2\pi k }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \theta = \frac{2\pi k}{3} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k=0,1,2,3 }[/math]

תרגיל:

הוכח כי [math]\displaystyle{ sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta) }[/math]

פתרון:

[math]\displaystyle{ cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3= }[/math]

[math]\displaystyle{ =cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta) }[/math]

השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.

תרגיל: פתרו את המשוואה [math]\displaystyle{ z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0 }[/math]

תרגיל: חשב את הביטוי [math]\displaystyle{ (1+i)^{2012} }[/math]