הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"
מתוך Math-Wiki
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←1) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←1) |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
*<math>(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0</math> | *<math>(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0</math> | ||
+ | נפתח סוגריים ונקבל: <math>sin(x)^2-cos(x)^2>0</math>. ניעזר בזהות <math>sin(x)^2+cos(x)^2=1</math> ונגיע לאי השוויון: <math>2sin(x)^2-1>0</math>. מכאן נעביר אגפים ונקבל <math>sin(x)^2>{1 \over 2}</math> והפתרון שלו הוא <math>sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}</math> או <math>sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}</math>. זה מתקיים עבור: <math>{\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k</math> | ||
*<math>sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0</math> | *<math>sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0</math> | ||
+ | נציב <math>y=\pi \cdot cos(x)</math> ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור <math>2\pi k < y < \pi + 2\pi k</math>. לכן <math>2k<cos(x)<1+2k</math>. | ||
+ | |||
+ | אם <math>k>0</math>: נקבל <math>2 < cos(x)</math> וזה לא יתכן. | ||
+ | |||
+ | <math>k<0</math>: נקבל <math>cos(x)<-1</math> וזה גם לא יתכן. | ||
+ | |||
+ | עבור <math>k=0</math>: אי השוויון הוא <math>0<cos(x)<1</math> וזה מתקיים לכל <math>-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k</math> |
גרסה מ־01:57, 13 באוגוסט 2012
1
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא:
מתקיים שוויון כאשר . עד הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של . לכן אי השוויון מתקיים עבור
נסמן ונבדוק מתי . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור
נפתח סוגריים ונקבל: . ניעזר בזהות ונגיע לאי השוויון: . מכאן נעביר אגפים ונקבל והפתרון שלו הוא או . זה מתקיים עבור:
נציב ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור . לכן .
אם : נקבל וזה לא יתכן.
: נקבל וזה גם לא יתכן.
עבור : אי השוויון הוא וזה מתקיים לכל