משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

ודרגת השורות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא [math]\displaystyle{ k }[/math].

כלומר [math]\displaystyle{ dim{C(A)}=k }[/math].

יהיה [math]\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math] בסיס עבור [math]\displaystyle{ C(A) }[/math].

נסמן ב [math]\displaystyle{ D }[/math] את המטריצה שעמודותיה הם איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].

כלומר

[math]\displaystyle{ D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} }[/math]

נשים לב שבגלל ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A) }[/math] הוא פורש כל עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math].

כלומר לכל עמודה [math]\displaystyle{ C_i(A) }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\} }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ [C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ (\ast) \quad C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

נגדיר מטריצה [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{F}^{} }[/math]