שיחה:88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תשובה במשוואה מרוכבת

טקסט לא מעוצב האם פתרון של משוואה מרוכבת יכול לצאת עם שורש i ?

תשובה: הפתרון (או פתרונות) למשוואה מרוכבת צריך להיות מוצג בצורה [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{R} }[/math].

בלי שורש [math]\displaystyle{ i }[/math].--איתמר שטיין 22:02, 16 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 7 בתרגיל 1, טקסט לא מובן

האם הנקודה האחרונה היא (t,4)? אם כן, האם צריך לבטא בעזרת הפרמטר t ?

תשובה: אכן, הנקודה האחרונה היא [math]\displaystyle{ (t,4) }[/math]. יש לבטא את התשובה באמצעות [math]\displaystyle{ t }[/math] ולשים לב לאפשרויות השונות שיכולות להיות. --איתמר שטיין 21:53, 16 ביולי 2012 (IDT)

מערכת משוואות

האם אני חייב לפתור את המערכת משוואות בעזרת מטריצה או שאני יכול לפתור אותן בדרך הישנה כמו שמלמדים בתיכון (בדרך של הצבה). (שאלות 7-9)

תשובה: המטרה היא לתרגל דירוג מטריצות, אז כן, צריך להשתמש במטריצות. --איתמר שטיין 23:33, 17 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל 1 שאלה 9

אין שום הבדל בין שאלה 8 ל9 מבחינת דרך הפיתרון (רק השדה שונה) . צריך לפתור את שאלה 9 בדרך שונה משאלה 8? או לפתור אותה בדיוק כמו שאלה 8?

תשובה: אני לא יכול להגיד באיזה דרך צריך לפתור.

צריך לפתור את שאלה 9 ולהגיע לתשובה נכונה.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 עובדת בשאלה 9, אז תשתמש באותה דרך.

אם נראה לך שאותה דרך של שאלה 8 לא עובדת, אז תשתמש בדרך אחרת.

--איתמר שטיין 10:31, 19 ביולי 2012 (IDT)

כמה שאלות לגבי התרגילים

1. האם אני צריך להראות את צורת הפתרון הסופי כאשר יש אינסוף פתרונות? 2. האם אני יכול להניח ב8 ש [math]\displaystyle{ b }[/math] שונה מאפס? 3. איך אני אמור לפתור את 9 אם אני לא יודע אם a גדול או קטן מ7 (מבחינת מודול)

כמה תשובות:

1) כן.

2) לא. אבל אתה יכול להפריד למקרים.

3) זה לא ממש אמור לשנות לך. [math]\displaystyle{ a }[/math] הוא איבר של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math]. בכל מקרה במודולו [math]\displaystyle{ 7 }[/math] הוא שווה לאחד מ [math]\displaystyle{ \{0,1,\ldots,6\} }[/math] --איתמר שטיין 10:25, 19 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל בית 1 - שאלה 9

האם אפשר להבין מכך שהמשתנים נמצאים במשוואות הנתונות שהם בין 0 ל-6 (כלומר a, a+3, a^2, b נמצאים בתחום הזה)?

תשובה: כל מספר שלם (כולל [math]\displaystyle{ a^2,a+3 }[/math] וכו') שווה במודולו 7 למספר בין 0 ל 6.--איתמר שטיין 18:27, 19 ביולי 2012 (IDT)

שאלה כללית

רק לוודאות: כשכתוב לפתור את מערכת המשוואות עם הפרמטר הכוונה למצוא פיתרון יחיד? או שהכוונה מתי אינסוף פתרונות וכו'...

תשובה: לפתור את המערכת אומר:

1) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש פתרון יחיד - ולמצוא את הפתרון.

2) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים אין פתרון.

3) למצוא עבור איזה ערכים של הפרמטר/ים יש אינסוף פתרונות - ולמצוא את הפתרון הכללי. --איתמר שטיין 13:27, 20 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 5

איך אמורים לפתור את התרגיל הזה? צריך גם לחשוב על מספרים שיהיו בשדה וגם על החיבור והכפל שלהם..

תשובה: כן. צריך לקחת ארבעה מספרים או סימנים כלשהם ([math]\displaystyle{ \{0,1,2,3\} }[/math] או [math]\displaystyle{ \{a,b,c,d\} }[/math] - זה לא באמת משנה) ולהגדיר על ארבעת האיברים האלה כפל וחיבור כך שכל האקסיומות של שדה מתקיימות.--איתמר שטיין 13:29, 20 ביולי 2012 (IDT)

אבל לא משנה איך מסדרים את האיברים, יצא לנו או שדה על mod 4 - סתירה (4 לא ראשוני), או (שני איברים ניטרלים לכפל או לחיבור).

שדה עם 4 איברים לא אומר שכל האיברים שונים. שני איברים נייטרלים לחיבור אומר שהקבוצה היא לא שדה רק אם שניהם שונים, אותו דבר לגבי כפל. אלמוג אלפסה 09:53, 21 ביולי 2012 (IDT)

לא ייתכנו שני איברים נייטרלים לפעולה אחת. קל להוכיח שאיבר נייטרלי לפעולה הוא יחיד (מה יהיה סכום איברים נייטרלים שונים לחיבור?). אבל הפעולות לא חייבות להיות כמו Z ארבע, יש הרבה מאד דרכים להגדיר את הפעולות בין האיברים. אחת הדרכים תתן שדה. --ארז שיינר

אבל לא יכולים להיות איברים כפולים בשדה, כי שדה זה קבוצה, ובקבוצה מורידים איברים כפולים

רק להיות בטוח

כשאומרים פתירת מערכת מעל שדה כלשהו(נגיד Z 7), מתכוונים שרק הנעלמים שייכים לאותו השדה או שגם הפרמטרים?

הכל שייך לשדה. כלומר, אם מבקשים ממך לפתור את 31x=3 מעל Z7, קודם הייתי מוצא מה הערך של 31 ב-z7 ואז ממשיך...

אבל אם נגיד אתה מחלק 3 ב 37, אז יוצא לך מספר לא שלם, אז איך אתה יכול לפתור אותו מעל Z7?

אתה יכול לפרק 37=a*7+b כאשר a מקסימלי. במקרה כזה, ב-z7, שלושים ושבע יהיה שקול ל-b.

לא ממש הבנתי.. נגיד 4X = 25 מעל Z11, למה יהיה שווה X?

לכל מספר בשדה יש הופכי, אתה כופל בהופכי בשני הצדדים. בדוגמא שהבאת, ההופכי של 4 הוא 3 (שכן 12=1 מודולו 11). לכן איקס שווה ל75=9 מודולו 11. --ארז שיינר

שאלה לגבי דירוג משוואות ב12

חובה לדרג את המשוואות או שאפשר פשוט להביא את המקרים של a בשדה?

לדרג, זה מה שלומדים בתרגיל הזה --ארז שיינר

תרגיל2- שאלה 2 סעיפים ב' ו-ג'

ב':אני חושב שאמור להיות שהעמודה ה-J שווה לעמודה ה-I של A כי ה-1 הוא האיבר ה-I בעמודה J ואותו הדבר לגבי סעיף ג':שורה i שווה לשורהJ של A

תשובה: אתה צודק, יתוקן בקרוב.--איתמר שטיין 21:09, 22 ביולי 2012 (IDT)

עלתה גרסא מתוקנת. --איתמר שטיין 21:29, 22 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 7

מה הכוונה במטריצות סגורות לכפל? לא זכור לי שעברנו על זה בתרגיל/הרצאה.

תשובה: להגיד שקבוצה [math]\displaystyle{ X }[/math] של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם [math]\displaystyle{ A,B\in X }[/math] אז [math]\displaystyle{ AB\in X }[/math]

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--איתמר שטיין 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

כלומר השאלה היא בעצם אם אכפול שתי מטריצות סקלריות, האם אקבל מטריצה סקלרית? האם צריך להוכיח/להפריך את התשובה, כי השאלה שואלת רק אילו סגורות ואילו לא.

כמובן שיש להוכיח/להפריך --שירה ג

שאלה 2 חלק שני

בשאלה 2 אני צריך להניח שמיספר השורות ב A שווה למיספר העמודות ב E? או שזה ברור?

תשובה: כן. [math]\displaystyle{ A,E_{i,j}\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] .--איתמר שטיין 22:34, 24 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 3 בשעורי בית 2

בשאלה 3 סעיף ג', שואלים עברו אילו ערכי a , b המטריצה הפיכה, ומה ההפיכה עבור ערכים אלו.

עכשיו אני הצחלתי להגיע לאילו ערכי a ,b אין הפיכה.. אז מה להגיד שעבור כל ערך שהוא לא מה שמצאתי יש הפיכה??

כי ביקשו עבור ערכי a,b ספציפיים..

תשובה: אין בעיה להגיד שעבור כל [math]\displaystyle{ a,b }[/math] פרט למקרים מסוימים המטריצה הפיכה.

אבל בשביל המקרים שהיא הפיכה צריך למצוא את ההופכית.--איתמר שטיין 22:43, 24 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 6 ש"ב 2

בסעיפים א' ו ב' של התרגיל היה צריך להוכיח האם משהו עם הקבוצה שווה להופכי שלה. עכשיו בסעיף האחרון שאלו האם A בהכרח הופכית, וגיליתי שלא בהכרח...

אז זה אומר שסעיפים א' ו ב' לא נכונים?

תשובה: אם ל[math]\displaystyle{ A }[/math] אין בהכרח הופכי אז באמת א' וב' הם מיידית לא נכונים.--איתמר שטיין 22:46, 24 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 4 סעיף ג

האים מטריצה ריבועית עם 4 איברים שכולם 1 נחשבת למטריצת האפס?

תשובה: מטריצת האפס היא המטריצה שכל הערכים בה הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math].--איתמר שטיין 22:48, 24 ביולי 2012 (IDT)

הגדרות לשאלה 7

היות וכמה אנשים שאלו אותי היום. אני כותב כאן את ההגדרות הרלוונטיות לשאלה 7.

מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] נקראת

1)משולשית עליונה אם [math]\displaystyle{ A_{i,j}=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ j\lt i }[/math].

2)משולשית תחתונה אם [math]\displaystyle{ A_{i,j}=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\lt j }[/math].

3) משולשית אם היא משולשית עליונה או תחתונה.

4) אלכסונית אם [math]\displaystyle{ A_{i,j}=0 }[/math] עבור [math]\displaystyle{ i\neq j }[/math].

5) סקלרית אם [math]\displaystyle{ A=c\cdot I }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ c\in \mathbb{F} }[/math].--איתמר שטיין 22:55, 24 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 5

מה זה אומר אחד חלקי טראס איי? 1/tr(A)?

תשובה: אם [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{n\times n} }[/math] אז [math]\displaystyle{ tr(A)\in \mathbb{F} }[/math].

לכן, אם [math]\displaystyle{ tr(A)\neq 0 }[/math] קיים לו הופכי. ההופכי הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{tr(A)} }[/math].--איתמר שטיין 17:27, 25 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 6

האם העובדה שנתון A^2=-I פירוש הדבר שקיימת אחת כזאת (מגודל nXn)?

תשובה: כן.--איתמר שטיין 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

מה בדיוק הכוונה בסעיף ג'? איך אני יכול להוכיח שA כזאת היא בהכרח הפיכה?

תשובה: אם תצליח למצוא הופכי זה אומר שהיא בהכרח הפיכה.--איתמר שטיין 21:24, 25 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 3 בתרגיל 2

בסעיף ג', אני יודע שהמטריצה לא הפיכה ל a=0 וגם b=0 , אבל אני לא יודע אם זה המקרה היחיד. אפשר כיוון ?

רמז: במקום לנסות לחפש מתי המטריצה לא הפיכה, תנסה למצוא את ההופכית שלה.--איתמר שטיין 21:33, 25 ביולי 2012 (IDT)

תודה

שאלה 4 תרגיל 2

בסעיף א' האם הככונה למצוא 3 מטריצות ספיציפיות המקיימות את הדרישות או למצוא מטריצה A המקיימת את הדרישות לכל B ו C

תשובה: למצוא שלוש מטריצות ספציפיות.--איתמר שטיין 21:26, 25 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 7 מטריצות הפיכות

מותר בכפל מטריצות להפוך AxB)x(BxA) ל Ax(BxB)xA?

תשובה: כן.

[math]\displaystyle{ (A\cdot(B\cdot B))\cdot A = A\cdot((B\cdot B)\cdot A) = (A\cdot B)\cdot(B \cdot A) }[/math].

זה נובע מחוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) של כפל מטריצות.--איתמר שטיין 21:30, 25 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 2 סעיף ד׳

באגף ימין, איך אפשר לכפול איבר במטריצה?

תשובה: [math]\displaystyle{ a_{j,k}\in \mathbb{F} }[/math]. זה כפל של סקלר במטריצה.--איתמר שטיין 21:35, 25 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 5

עפ"י חוק בפילוג בשדה F , אז (סיגמה של אברי מטריצה משדה F כפול סקלר s מ F) שווה (לסיגמה של s כפול אותם אברים ) ?

תשובה: כן. אם [math]\displaystyle{ s,a_0,\ldots,a_n\in \mathbb{F} }[/math] אז

[math]\displaystyle{ s \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n a_i = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^n (sa_i) }[/math]

אפשר להוכיח את זה באמצעות פילוג ואינדוקציה.--איתמר שטיין 23:07, 26 ביולי 2012 (IDT)

אבל אני לא צריך להוכיח נכון ?

תשובה: לא צריך.--איתמר שטיין 10:38, 27 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 5 א

לא הבנתי איך להוכיח את זה כי זה ברור

תרגיל 2 - חיבור מטריצות -מופיע במספר שאלות

איך אני מחבר מטריצות? נגיד נתון לי A ו B מעל שדה F 3*3 אז החיבור שלהם A+B - למה הוא שווה? ואיך מבצעים את זה?

לדוגמא זה מופיע בשאלה 5 ב' ושאלה 4 סעף ג'

תשובה: אם [math]\displaystyle{ A,B\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אז

[math]\displaystyle{ [A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j} }[/math].

זה פשוט חיבור איבר איבר. --איתמר שטיין 21:56, 28 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 7

כשאני מוכיח שיש סגירות במטריצות סקלריות אני יכול להשתמש בלי להוכיח את חוק החילוף לכפל של סקלרים(aA=Aa כאשר a סקלר בשדה F וA מטריצה במרחב [math]\displaystyle{ F^{n*n} }[/math]? --Avital 22:58, 27 ביולי 2012 (IDT)

תשובה: אפשר להסתמך על החוק הזה בלי להוכיח אותו.--איתמר שטיין 22:00, 28 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 4 סעיף ג'

כתוב שצריך לתת דוגמא למטריצות A ו- B הפיכות כך ש- A+B!=0 (לא שווה )

מה הכוונה בהפיכות ?- שהן אחת הופכית של השנייה ? או שני מטריצות הופכיות שלא קשורות אחת לשנייה ?

ומה הכוונה ב- A+B ? איך מחברים מטריצות ?

תשובה: כל אחת מהן הפיכה ואין להן בהכרח קשר אחת עם השניה.

לגבי חיבור מטריצות: אם [math]\displaystyle{ A,B\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] אז

[math]\displaystyle{ [A+B]_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j} }[/math].

זה פשוט חיבור איבר איבר.--איתמר שטיין 22:07, 28 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל 2 שאלה 7

מה הכוונה -אילו מקבוצות המטריצות הריבועיות סגורות לכפל?

מה הכוונה סגורות לכפל ?

תשובה: להגיד שקבוצה [math]\displaystyle{ X }[/math] של מטריצות סגורה לכפל זה אומר ש:

אם [math]\displaystyle{ A,B\in X }[/math] אז [math]\displaystyle{ AB\in X }[/math]

(מכפלה של מטריצות מהקבוצה נמצאת בקבוצה).--איתמר שטיין 22:54, 22 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 1 תרגיל 3

האם אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר שראינו בהרצאה? (כלומר עם שלושת התנאים: W ת"מ אם"ם W לא ריקה וגם W סגורה לכפל בסקלר וחיבור).

תשובה: כן.--איתמר שטיין 22:03, 29 ביולי 2012 (IDT)

שאלה 6 א' בתרגיל 2

בשאלה זו ניתן להגיד כי A כפול A במינוס 1 =I, כלומר A הפיכה, מכיוון שמזכירים את A במינוס אחד ? אם לא מה אומר A במינוס אחד ?

תשובה: אתה לא יכול להניח ש [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה רק בגלל שכתוב בסעיף א' (וב') [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math].

אתה כן יכול לומר שאם [math]\displaystyle{ A }[/math] לא בהכרח הפיכה אז ברור ש א' וב' לא נכונים כי עבור [math]\displaystyle{ A }[/math] לא הפיכה, [math]\displaystyle{ A^{-1} }[/math] לא קיים בכלל. --איתמר שטיין 23:06, 30 ביולי 2012 (IDT)

דחוףף

יש לי הארכת זמן ולא קיבלתי מייל לאן אני צריך ללכת כדי להראות שיש לי הארכת זמן ,מישהו יכול להגיד לי לאן ללכת ועם מה? למי להתקשר?

שדה אינסופי

האם אפשר להניח בלי הוכחה שchar(F)=0 => השדה F אינסופי?

תשובה: כן. (למרות שאני מקווה שאתם יודעים איך להוכיח את זה). --איתמר שטיין 23:09, 30 ביולי 2012 (IDT)

נתבונן בקבוצה 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1....

(1 הוא 1 של השדה)

בגלל סגירות לחיבור, כל האיברים נמצאים בשדה. המאפיין הוא אפס, לכן לא משנה כמה פעמים נחבר נקבל איברים שונים. מכאן כבר שיש אינסוף איברים בשדה F, והוא אינסופי.

תרגיל 3 -טעות בשאלה 4 ג'

בשאלה 4 ג'. צריך להניח בנוסף ש [math]\displaystyle{ A \neq \emptyset }[/math].

גרסא מתוקנת תעלה בהמשך היום.--איתמר שטיין 10:07, 31 ביולי 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 2

שלום, בתרגיל 3 שאלה 2 מה סדר הפעולות באגפים הימניים? משמאל לימין או שהחיבור בסוף? תודה מראש :)

תשובה: החיבור בסוף.--איתמר שטיין 20:42, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

בוחן 7.8

מה מבנה הבוחן בשלישי? כמה שאלות וכמה נקודות לשאלה???

תרגיל 3 שאלה 2

כל הסעיפים מכילים את אותם ביטוים משני הצדדים. צריך להוכיח עבור שני סעיפים ולהפריך עבור השנים האחרים ?

תשובה: אני לא רוצה להגיד כמה סעיפים נכונים וכמה לא.

זה נכון שבגלל שכל הסעיפים קשורים, זה יכול להקל עליכם קצת.

למשל, אם הצלחת להוכיח את א' זה מייד אומר שב' לא נכון.--איתמר שטיין 22:29, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

כיתות לימוד מחר

שלום, באילו כיתות אנו לומדים מחר?

תשובה: שימו לב לשינוי הכתות באופן חד פעמי ליום חמישי 2/8/12

ההרצאות במקום הרגיל ב 604 61/62

התרגיל של אפי יתקיים בכיתה 403/2 בשעה 13

שירה 404/102

ארז 404/114

איתמר 404/115 --איתמר שטיין 22:24, 1 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה 3

עוד לא הבנתי מה ההבדל בין (sp(A+B לבין (B או sp(A ובין spA + spB לבין spA איחוד spB מישהו יכול להסביר לי עם דוגמה??

תשובה:

[math]\displaystyle{ A \cup B }[/math] זאת קבוצה שמכילה את כל איברי [math]\displaystyle{ A }[/math] ו [math]\displaystyle{ B }[/math] (האיחוד שלהם). [math]\displaystyle{ A+B }[/math] זאת קבוצה של כל האיברים שהם חיבור של משהו מ [math]\displaystyle{ A }[/math] ומשהו מ [math]\displaystyle{ B }[/math].

דוגמא:

אם [math]\displaystyle{ A = \{(1,2), (3,4)\} }[/math] ו [math]\displaystyle{ B= \{(5,6)\} }[/math]

אז

[math]\displaystyle{ A \cup B = \{(1,2) , (3,4) , (5,6)\} }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ A+B = \{(6,8), (8,10)\} }[/math].--איתמר שטיין 10:35, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

רגע ומה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB??

לא הגדרנו את החיבור רק עבור מרחבים ווקטוריים? Avichai 17:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אתה יכול להכליל את זה, כך ש-A+B היא קבוצה של איברים ששווים לסכום של איבר כלשהו מ-A עם איבר כלשהו מ-B. הגדרה זו תופסת גם עבור קבוצות כלשהן שאינן מרחבים וקטוריים, כל עוד מוגדרת פעולת חיבור מתאימה.

תרגיל 3 שאלה 3 סעיף ב

האם SPAN של (1,0)איחוד (0,1) יוצר את המישור (Rבריבוע) או שווה לצירים בילבד

תשובה: [math]\displaystyle{ span(\{(1,0),(0,1)\}) }[/math] יוצר את המישור.

כל וקטור במישור [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] הוא צירוף לינארי [math]\displaystyle{ (a,b) = a(1,0) + b(0,1) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ (a,b) \in span(\{(1,0),(0,1)\}) }[/math].--איתמר שטיין 10:47, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתי לך!!!! אייי ! חח אל תשכח את הדוריטוס ;)

שאלה

אם למטריצה יש שורת אפסים זה אומר שאין לה בסיס??

תשובה: אתה צריך להסביר את השאלה יותר טוב.

בסיס יש למרחב וקטורי (לכל מרחב וקטורי).

מטריצה (אחת) היא לא מרחב וקטורי (אלא אם כן היא מטריצת האפס).

מה המרחב הוקטורי שאתה מדבר עליו?--איתמר שטיין 10:38, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 7 ב למע' המשוואות מתקבלת שורת אפסים (אחרי שהפכתי אותה למטריצה) אז השאלה היא האם יש לה בסיס

תשובה: למרחב הפתרונות של כל מערכת משוואות הומוגנית יש בסיס. (כמו לכל מרחב וקטורי).

לכן, גם לפתרונות של המערכת בשאלה יש בסיס. --איתמר שטיין 13:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 2

האם בשביל להוכיח ששני תתי מרחבים הם שונים מספיק לתת דוגמה שהם שונים או שצריך להוכיח שלא משנה מה תציב הם יהיו שונים

תשובה: הטיעון [math]\displaystyle{ U \cap (V+W) = U \cap V + U \cap W }[/math] נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים [math]\displaystyle{ U,V,W }[/math] יהיה שוויון.

הטיעון [math]\displaystyle{ U \cap (V+W) \neq U \cap V + U \cap W }[/math] נכון אם לכל הצבה שהיא של מרחבים [math]\displaystyle{ U,V,W }[/math] לא יהיה שוויון.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--איתמר שטיין 10:43, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

זה עונה על השאלה תודה

שאלה כללית

האם הספאן של (1,0) פלוס (של מ"ו) הספאן של (0,1) שווה לספאן של (1,0) (0,1)? האם זה אומר שחיבור הספאנים הנ"ל פורש את R^2?

הוא כבר ענה על זה, תראה 3 שאלות למעלה

שאלה 1

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר?

כן.--איתמר שטיין 16:12, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אז מה הקטע של התרגיל? פשוט אומרים לפי הקריטריון המקוצר...?

תשובה: אולי אנחנו מדברים על דברים שונים.

כשאני אומר שאפשר להשתמש בקריטריון המקוצר אני מתכוון שאפשר להשתשמש במשפט שראיתם בהרצאה שאומר:

[math]\displaystyle{ W }[/math] תת מרחב וקטורי אם ורק אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים.

1) [math]\displaystyle{ W \neq \emptyset }[/math].

2) [math]\displaystyle{ u,v \in W \Rightarrow u+v \in W }[/math].

3)[math]\displaystyle{ u \in W, \quad \alpha \in \mathbb{F} \Rightarrow \alpha u \in W }[/math].

בהינתן המשפט הזה, צריך לעשות עוד קצת עבודה כדי להוכיח את מה שכתוב בתרגיל. --איתמר שטיין 17:36, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

בכיתה לימדת אותנו שבמקום 2 ו 3 צריך שיתקיים [math]\displaystyle{ u,v \in W \Rightarrow u+ \alpha v \in W }[/math].

זה שקול, פשוט בתנאי הנ"ל תקח פעם אחת alpha=0 ופעם אחרת u=0 ותקבל את הנדרש.

אז זה כל מה שצריך לרשום?

בגדול, כן. רק שימו לב שבפתרון שלכם (במיוחד בהוכחה שהנתונים בשאלה 1 [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math] מרחב וקטורי) אתם משתמשים רק בנתונים שיש לכם. --איתמר שטיין 22:15, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 3 שאלה 6

אם אני רוצה להפריך טענות, אני צריך להביא בתור דוגמא U ו V מסויימים ו B1 ו B2 מסויימים ולהראות שזה לא מתקיים?

כן.--איתמר שטיין 16:13, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

חומר לבוחן

עד איפה החומר לבוחן ביום שלישי? עד איזה חומר ללמוד? ועד איזה שיעור זה ? תודה!

תשובה: עד החומר שלמדתם ביום חמישי 26/7 (כולל) שזה אומר:

שדות, מערכות משוואות לינאריות, מטריצות, כפל מטריצות והפיכות מטריצות.

מרחבים וקטוריים, כולל בסיס ומימד כולל משפט השלישי חינם (נדמה לי שלא כולל משפט המימדים).--איתמר שטיין 17:40, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה כללית

אם לדוגמא אני במ"ו מעל שדה Z5 לדוגמא, אז האם גם המספרים בוקטורים הם מתוך השדה? לדוגמא בשדה הנ״ל יכול להיות לי הוקטור (7,3,9)?

תשובה: אם אתה מסתכל על המרחב [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}_5)^n }[/math] אז כן, המספרים בוקטורים הם מתוך השדה.

למשל: במרחב [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}_5)^3 }[/math]

מתקיים ש [math]\displaystyle{ (7,3,9) = (2,3,4) }[/math] כי הכל במודולו [math]\displaystyle{ 5 }[/math].

אבל [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}_5)^n }[/math] הוא לא המרחב היחיד מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math], יש עוד ( נגיד מטריצות עם ערכים מ [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math].)--איתמר שטיין 17:45, 3 באוגוסט 2012 (IDT)

אני מתכוון לכך שיהיה V מ"ו מעל שדה Z5. אז זה אומר שגם המספרים בוקטורים חייבים להיות מעל Z5?

ודאי. למשל אם (7,3,9) וקטור כנ"ל, אתה מתייחס ל-7,3,9 כאיברים של Z5.

מה זאת אומרת להתייחס לוקטור 7,3,9 כאיברים של Z5? ב Z5 אין 7 ו 9.

ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 7=2 }[/math] ו [math]\displaystyle{ 9=4 }[/math] (כי את כל המספרים מחשבים במודולו [math]\displaystyle{ 5 }[/math]).--איתמר שטיין 22:20, 4 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה

מה ההבדל בין spA + spB לבין spA איחוד spB???

בחיבור אתה מקבל קבוצה בה כל האיברים הם תוצאה של חיבור של איבר מהקבוצה הראשונה עם איבר מהקבוצה השנייה, בעוד שבאיחוד אתה תקבל קבוצה של איברים שנמצאים לפחות באחת הקבוצות. זה לא אותו דבר, ולמעשה במקרה שלנו האיחוד שכתבת מוכל בתוך החיבור (וזאת משום שכל אחד מהנפרשים מכיל את ווקטור האפס, ובפרט וקטור האפס עם כל וקטור אחר יהיה שווה לאותו וקטור אחר). אם אתה רוצה לראות שלעתים הם גם שונים, תקח [math]\displaystyle{ A=(1,0); B=(0,1) }[/math] מעל הממשיים ותפתח

תרגיל 3

לאיתמר, עכשיו גיליתי שהיום שכחתי להגיש את תרגיל 3. יש משהו שאפשר לעשות? יעזור אם אסרוק את כל הדפים ואשלח לך במייל?

בתודה מראש, אביחי מרמור: avichai@elmar.co.il. Avichai 23:16, 5 באוגוסט 2012 (IDT)

בבוחן יהיו שאלות כמו שאלות 1,2 בתרגיל 4

???

תשובה: הנושאים שמכוסים על ידי תרגילים 1,2 נמצאים בחומר לבוחן.--איתמר שטיין 18:07, 6 באוגוסט 2012 (IDT)

1. אבל למדנו את זה אחרי היום שבו אמרו שעד אז זה החומר למבחן..

2. יש עוד שאלות בתרגילים שזה לבוחן?

תשובה:

1) דברים יסודיים לגבי מרחבים וקטוריים (כולל בסיס ומימד) נמצאים בחומר לבוחן.

תרגילים 1-2 עוסקים בטכניקות עבודה עם מ"ו, בלי משפט המימדים, בלי מטריצות מעבר בין בסיסים,בלי דרגה של מטריצה, לכן זה בחומר.

2) לא (אני מצטער שהתשובה הזאת מגיעה אחרי שכבר עשיתם את הבוחן).--איתמר שטיין 09:38, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

פתירת מערכת משוואות מעל Zp

טקסט לא מעוצב אם אני פותר מערכת מעל Zp. האם אני יכול להמיר למטריצה ולדרג כאילו אני בR ורק בסוף לעשות modp על התוצאה?

תשובה: כן.--איתמר שטיין 09:29, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 4

אין שאלה 4 בתרגיל 4 - שכחתם להוסיף או שיש רק 8 תרגילים?

תרגיל 4 שאלה 7

צריך להוכיח שקיים וקטור. האם אפשר להניח בשלילה שלכל וקטור הטענה לא נכונה, ואז לתת דוגמה נגדית ספציפית כדי לקבל סתירה או שצריך בכלליות? תודה מראש

תשובה: אפשר להניח בשלילה שהטענה לא נכונה, ואז לכל וקטור [math]\displaystyle{ v \in \mathbb{R}^n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ A^{k-1}v = 0 }[/math].

אם כשאתה כותב "דוגמא נגדית ספציפית" אתה מתכוון, לבחור [math]\displaystyle{ A }[/math] ו [math]\displaystyle{ v }[/math] מסוימים, אז לא ייתן סתירה.

כי בשאלה ישנו כבר [math]\displaystyle{ A }[/math] נתון בשאלה (שאנחנו אמנם לא יודעים מהו) ודווקא בשבילו צריך להראות שלא ייתכן

[math]\displaystyle{ A^{k-1}v=0 \quad \forall v \in \mathbb{R}^n }[/math]--איתמר שטיין 18:15, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 4 - שאלה 6 לא מובנת

לא הבנתי בשאלה 6 למה הכוונה "קטן גדול או קטן מ...", תוכלו להסביר מה צריך למצוא?

תשובה: אתה צודק, צריך להיות כתוב: קטן, גדול, או שווה ל...

כלומר צריך למצוא איזה מהבאים מתקיים

• [math]\displaystyle{ dim(U_1 \cap U_2) = dim(U_1 \cap U_3) }[/math]

• [math]\displaystyle{ dim(U_1 \cap U_2) \lt dim(U_1 \cap U_3) }[/math]

• [math]\displaystyle{ dim(U_1 \cap U_2) \gt dim(U_1 \cap U_3) }[/math]--איתמר שטיין 22:18, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 4 שאלה 5

האם בשאלה5 U וW תתי מרחב או שהם רק קבוצות המוכלות בV?

(תלמיד) - לדעתי ניתן להסיק שהם ת"מ כי בנתון יש dim U וגם dim W, לכן הם מ"ו ובפרט ת"מ של V --גיא 19:12, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: נכון. הם תתי מרחבים.--איתמר שטיין 22:20, 7 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה 1 סעיף ב' בלינארית

אני עשיתי מערכת עם שתי משוואות, ע"י הצבה של איקסים לפי הנתונים, והגעתי למשוואות של המקדמים לפי הבסיס. דירגתי מצאתי פתרון כללי והוצאתי את הפרמטרים וקיבלתי בסיס למשהו, אין לי מושג למה ואיך אני מגיע ממנו לבסיס של W ?

למה דילגתם עליי? מה זה כי אני שחור? סתם הצלחתי תודה בכל מקרה

תשובה: דילגתי כי לשאלה שלך היה קצת יותר קשה לכתוב תשובה.

בדיוק עמדתי להעלות את התשובה הזאת (בכל מקרה אני שמח שהצלחת):

• הגעת למערכת משוואות על מקדמי הפולינומים - כל פולינום שמקדמיו פותרים את המשוואה נמצא ב [math]\displaystyle{ W }[/math].

• דירגת ומצאת פתרון כללי - כל פולינום שמקדמיו הם מהפתרון הכללי נמצא ב [math]\displaystyle{ W }[/math].

• הוצאת את הפרמטרים וקיבלת בסיס - קיבלת בסיס עבור וקטור המקדמים של פולינומים שנמצאים ב [math]\displaystyle{ W }[/math].

מכאן אני מקווה שברור מה הבסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math] צריך להיות.--איתמר שטיין 22:41, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה :)

שאלה 2

מערכת משוואות ליניאריות זה שיש מיקדמי אלפה אחד אלפה שתיים אלפה שלוש או שצריך לצמצם אותם ולהגיע למשוואה שיש בה רק X,Y,Z,W?

תשובה: צריך להגיע לתשובה שיש בה רק [math]\displaystyle{ x,y,z,w }[/math].

כלומר התשובה לסעיפים א' ו ג' צריכה להיות מערכת משוואות ב [math]\displaystyle{ x,y,z,w }[/math] בלבד.--איתמר שטיין 22:25, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה כללית

האם ה dim של 0 (שהוא תת מרחב) שווה ל 1 או 0?

תשובה: [math]\displaystyle{ dim\{0\}=0 }[/math] כי הבסיס של [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] ויש בו 0 איברים.--איתמר שטיין 21:27, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

למה ה dim של 0 זה אפס? הרי בבסיס של 0 יש איבר, והוא אפס (הוא פורש אותו)?

תשובה: [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math] הוא לא בסיס כי הוא תלוי לינארית.

הבסיס של [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] (קבוצה ריקה) ובה יש [math]\displaystyle{ 0 }[/math] איברים.--איתמר שטיין 12:16, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה 7 תרגיל 4

נתון ש A^k-1 שונה מאפס.. נכפיל ב A משני הצדדים נקבל A^k שונה מאפס.. בסתירה לנתון שהוא שווה לאפס.

אם A שווה לאפס, אז זה סתירה לנתון ש A^k-1 שונה מאפס (כי 0 בחזקת הכל זה אפס)

???

תשובה: [math]\displaystyle{ A^{k-1}\neq 0 }[/math] לא גורר ש [math]\displaystyle{ A^k \neq 0 }[/math].

באופן כללי [math]\displaystyle{ B \neq C }[/math] לא גורר ש [math]\displaystyle{ AB \neq AC }[/math].

וזה מפני ש [math]\displaystyle{ AB = AC }[/math] לא גורר ש [math]\displaystyle{ B=C }[/math]. (הייתה כזאת שאלה בתרגיל 2)--איתמר שטיין 21:35, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 4 שאלה 6

בשאלה זו, מספיק לתת דוגמה של תתי מרחבים שעונים על כל הדרישות בשאלה ואז ע"פ הנתונים שנתתי, אפשר למצוא האם (dim(u1 ^ u2 גדול, קטן או שווה ל - (dim(u1^u3  ? כי הרי התשובה הנכונה נכונה לכל דוגמה שאתן אז אפשר לתת דוגמה אחת כדי לראות מה נכון? זה פתרון אפשרי לשאלה?

תשובה: צריך להוכיח שאחד המקרים מתקיים ואי אפשר להסתפק בדוגמא.

זה נכון שהתשובה הנכונה נכונה לכל דוגמא, אבל אתה לא יכול להניח את זה כשאתה פותר (זה כמו להתבסס בדרך על מה שרוצים להוכיח).--איתמר שטיין 22:47, 8 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 4 שאלה 4 ;)

לא הצלחתי את תרגיל 4 שאלה 4.. אפשר רמז לפיתרון?! ;)

S.D

תשובה: נניח ש [math]\displaystyle{ V }[/math] ממימד גדול מ [math]\displaystyle{ 5 }[/math] אז ברור ש [math]\displaystyle{ [I]_C^B \in \mathbb{F}^{k\times k} }[/math] כש [math]\displaystyle{ k \geq5 }[/math].

עכשיו תנסה להציב [math]\displaystyle{ \mathbb{F} = \mathbb{Z}_7 }[/math] ו [math]\displaystyle{ \mathbb{F} = \mathbb{Z}_5 }[/math] ותראה מה קורה.--איתמר שטיין 00:21, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל רגע אין שאלה 4 בתרגיל 4.

זה שאין שאלה לא אומר שאין רמזים.--איתמר שטיין 22:48, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

חיתוך מרחבים

על מנת למצוא בסיס של חיתוך מרחבים אני שם את הבסיסים של שניהם במטריצה אחת ומדרג עד לקבלת בתל ? כי כשאני עושה ככה אני מקבל מימד יותר גדול מהמרחבים המקורים והחיץתוך אמור להיות מוכל בהם..

תשובה: זאת לא השיטה. ככה מוצאים בסיס של סכום.

כדי למצוא בסיס של חיתוך שני מרחבים, אם המרחבים נתונים ע"י וקטורים פורשים אתה צריך להשוות את ה span שלהם ולפתור את המשוואה שנוצרת.

עשו כזאת דוגמא בתרגול.

כלומר, כותבים צירוף לינארי כללי של מרחב אחד, משווים אותו לצירוף לינארי כללי של מרחב שני ופותרים את מקדמי הצירוף.

אני מקווה שזה ברור.--איתמר שטיין 17:32, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ז"א שאם הבסיס שלי הוא x,y ו הבסיס השני הוא w,t אז אני צריך לעשות ax+by=dw+et אבל את מי אני צריך לבודד ואת מי למצוא בעזרת מי?

תשובה: לפי הסימונים שלך אתה מקבל מערכת משוואות (הומוגנית) עם נעלמים a,b,d,e. אתה צריך לפתור את המערכת הזאת (למעשה מספיק למצוא רק למה שווים a,b או d,e).

ואז להציב את התשובה (הפתרון הכללי) בתוך הצירוף הלינארי - ואז תקבל את האיבר הכללי של החיתוך.--איתמר שטיין 22:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תודה

שאלה 2 סעיף ב

אני מקבל רק משוואה 1 שהיא רק עם X,Y,Z,W אז אני צריך בסעיף ב לישתמש רק בה? או שבסעיף ב להישתמש גם במשוואות שיש בהם את הסקלרים?

תשובה: המרחב הוא בדיוק אותם [math]\displaystyle{ (x,y,z,w) }[/math] שפותרים את המשוואה שמצאת בסיף א'. אז אתה משתמש בתוצאה של סעיף א'.--איתמר שטיין 17:41, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה

נניח u,w מוכלים ב v אז סכום ישר שלהם הוא בהכרח תת מרחב ?

• (לא מתרגל/מרצה) הוכחנו בהרצאה כי סכום של תתי מרחבים (באופן כללי) הוא ת"מ. אם הסכום הישר מוגדר (כלומר החיתוך הוא וקטור האפס) אז הוא גם כן תת מרחב (מדובר במקרה פרטי).

תשובה: נכון, סכום ישר הוא תמיד תת מרחב והוא שווה לסכום הרגיל. (רק שלא כל סכום רגיל הוא גם סכום ישר). --איתמר שטיין 17:43, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה כללית לגבי שוויון תתי מרחבים

אם שני תתי מרחבים שווים, מה זה אומר על המימדים שלהם ועל הבסיסים שלהם? ז״א אם U=W (תתי מרחבים) האם זה גורר בהכרח dimU=dimW ושהבסיסים שווים?

תשובה: שוויון של תתי מרחבים הוא שוויון קבוצות.

זאת אותה קבוצה אז בוודאי שיש להם אותו מימד. וכל בסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math] הוא גם בסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math] ולהפך.

(שים לב שיש יותר מבסיס אחד לכל מרחב,לכן אם [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ U }[/math] ו [math]\displaystyle{ C }[/math] בסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math], אז [math]\displaystyle{ U=W }[/math] לא אומר ש [math]\displaystyle{ B=C }[/math]).--איתמר שטיין 17:47, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 4 שאלה 7 סעיף ב'

האם אני יכול להכפיל צירוף לינארי בסעיף ב' בA בחזקת K-1 (שהרי לא שווה ל0) ואז בצורה כזאת להראות שזה לא יכול להתקיים שהאיברים תלויים לינארית (הנחתי בשלילה שהם ת"ל ובצורה כזאת אני רוצה להגיע לסתירה) אני יכול לעשות פעולה כזאת?

תשובה: האיברים [math]\displaystyle{ \{v,Av,\ldots,A^{k-1}v\} }[/math] הם וקטורים בגודל [math]\displaystyle{ n \times 1 }[/math].

צירוף לינארי שלהם הוא וקטור בגודל [math]\displaystyle{ n \times 1 }[/math].

לכן מותר להכפיל אותו משמאל במטריצה שיש לה [math]\displaystyle{ n }[/math] עמודות

או מימין במטריצה שיש לה שורה אחת.

אני מקווה שזה עונה על השאלה.--איתמר שטיין 22:35, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

ליניארית, תרגיל 4 שאלה מס' 2

לא ממש הבנתי איזה צורת תשובה אני אמור לכתוב בסעיפים א'-ג'.. איזו מערכת משוואת אני אמור למצוא? מהצורה: X שווה לביטוי עם אלפא 1 וכו', או אלפא 1 שווה לביטוי עם X, Y...? ובסעיף ב', איזה מערכת משוואת לפתור אם התנאי שיצא לי בא' הוא משוואה אחת?

תשובה: בסעיפים א' ,ג' אתה אמור לקבל כתשובה מערכת משוואות עם נעלמים [math]\displaystyle{ x,y,z,w }[/math]

נגיד משהו מהצורה

[math]\displaystyle{ x+y+z+w=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ x+2y+3z+4w=0 }[/math].

לגבי סעיף ב', מערכת משוואות עם משוואה אחת אי אפשר לפתור?--איתמר שטיין 22:52, 9 באוגוסט 2012 (IDT)

אמרתיי לך !

תרגיל 4 שאלה 7

בשאלה 7 k חייב להיות קטן או שווה ל-n?

תשובה: אם השאלה היא האם אפשר להניח ש [math]\displaystyle{ k \leq n }[/math], אז התשובה היא לא. זה לא נתון בשאלה.--איתמר שטיין 21:06, 11 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 2

1. מה הכוונה "מטריצה סטנדרטית של T"? האם הכוונה למטריצה המייצגת של T לפי הבסיס הסטנדרטי?

2. בשאלה 3, A היא מטריצה מייצגת של T?

תשובה: 1) כן.

2) כן. --איתמר שטיין 20:46, 14 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה המטריצה המייצגת של T בבסיס הסטנדרטי??

תשובה: הבסיס הסטנדרטי של [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ S=\{e_1,e_2,e_3\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} }[/math].

המטריצה המייצגת של [math]\displaystyle{ T }[/math] בבסיס הסטנדרטי היא [math]\displaystyle{ [T]^S_S }[/math].--איתמר שטיין 08:55, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 11ג

אני חושב שיש טעות בשאלה כי אם V=R^2 ו- (y,x)=T(x,y אז T^2 עדיין שווה ל-I אבל וקטורים כמו (1,2) לא שייכים ל-U+W ולכן הטענה לא נכונה

[math]\displaystyle{ (1,2)=(3/2,3/2)+(-1/2,1/2) }[/math] ולכן הוא שייך לסכום תתי המרחבים --שירה ג 00:08, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 3

בשאלה 3 בהתחלה הוקטורים ש-T עובדת עליהם הם וקטורי שורה, ובסעיף ב היא עובדת גם על וקטורי עמודה. האם זה משנה? כלומר, העתקה לינארית הפועלת על וקטורי שורה תפעל גם על וקטורי עמודה באותה צורה?

תשובה: בדר"כ לא טורחים להבדיל בין וקטורי שורה לעמודה, מדובר באיברים של [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math]. ואפשר להתייחס אליהם בתור וקטורי שורה או וקטורי עמודה.

גם במקרה שלנו אפשר לחשוב על [math]\displaystyle{ T }[/math] כאילו היא עובדת על וקטורי שורה או עמודה, זה לא באמת משנה.--איתמר שטיין 17:21, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 5

האם מה שצריך למצוא בעצם זה את [math]\displaystyle{ [T]^B_C }[/math] ?

תשובה: כן.--איתמר שטיין 21:52, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5- שאלה 6- סעיף א'

מה הכוונה ביחס לבסיסים שונים? האם הכונה היא מכל בסיס של v לכל בסיס של w או מבסיס ספציפי של v לבסיס כלשהו של w ?

תשובה: מכל בסיס של [math]\displaystyle{ V }[/math] לכל בסיס של [math]\displaystyle{ W }[/math].--איתמר שטיין 21:53, 15 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 2 ב׳

אם הוכחתי ש T היא חחע, ניתן להשתמש במשפט

Dim(r3)=dim(r3) אז T חחע <=> T על

כדי להוכיח שT היא על?

כן.--שירה ג 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 6

צריך להוכיח בעצם שלכל בסיס E ל V ולכל בסיס S ל W מתקיים [math]\displaystyle{ RANK[T]^E_E = RANK[T]^S_S }[/math] ?

לא בדיוק. צריך להוכיח שלכל בסיסים A B של V ו C D של W מתקיים [math]\displaystyle{ RANK[T]^B_D = RANK[T]^A_C }[/math] --שירה ג 09:38, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 9

בנתונים נתון ש-S הע"ל, אך בסעיף א' יש להוכיח זאת. האם זה לא אמור להיות בנתונים?

תשובה: נניח שזה לא נתון.--איתמר שטיין 14:15, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

חחחחחחחח

ציוני בוחן בלינארית

הקישור לציונים לא עובד. ניתן לתקן את הבעיה?

תוקן.

תרגיל 5 שאלה 9

האם [math]\displaystyle{ M_2(\mathbb R) }[/math] הוא מרחב הוקטורים מגודל 2x1 או המטריצות מגודל 2x2? בשאלה 8 אלו מטריצות, ובשאלה 6 [math]\displaystyle{ M_{2x2}(\mathbb R) }[/math] הם המטריצות...

(לא מתרגל/ת): מדובר על מטריצות.

תשובה: נכון. שני הסימונים מייצגים מטריצות [math]\displaystyle{ 2\times 2 }[/math].--איתמר שטיין 18:42, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל 5 שאלה 7

האם צריך להוכיח כי T הע"ל?

תשובה: לא צריך להוכיח. כפל במטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית.--איתמר שטיין 18:43, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

כן אבל אם לדוגמא ייתנו שאלה על "אולי הע"ל" במבחן שמכפילה וקטור במטריצה, נצטרך להוכיח שזה אכן הע"ל או פשוט לרשום שכפל מטריצה תמיד מהווה העתקה לינארית?

תשובה: אפשר פשוט לכתוב שכפל במטריצה הוא תמיד העתקה לינארית.

(למרות שלהוכיח את זה לוקח שתי שורות)--איתמר שטיין 20:10, 16 באוגוסט 2012 (IDT)

לעצלנים שבינינו זה יעזור ;)

שאלה

ממש לא הבנתי מה זה ker ו im של T כמו למשל ששואלים בשאלה 4 ,אני הבנתי את ההגדרות אבל לא הבנתי בתכלס איך פותרים ,אפשר דוגמה טובה שתוכל להסביר לי??

-> תקח העתקה לינארית ותמצא לה גרעין ותמונה. הגרעין זה ker והתמונה זה Im

שאלה כללית

איך מכפילים מטריצה מגודל 2X2 במטריצה מגודל 3X3?? אפשר דוגמא???

לא מכפילים

סבבה תודה

תרגיל 5 שאלה 8

לאילו בסיסים סטנדרטיים בדיוק הכוונה בשאלה 8?(מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב פולינומים?)

1,x,x^2

או שאפשר להעביר את הפולינומים למקדמים שלהם (אחרי שמציבים 0 ו 1) ואז אפשר להשתמש בבסיס הסטנדטי הרגיל של R3..

תרגיל 5 שאלה 6 א'

האם ניתן להשתמש במשפט שהוכחנו בהרצאה שדרגת המטריצה המייצגת שווה למימד מרחב התמונות של ההעתקה הלינארית?

תשובה: כן. אפשר להשתמש בכל משפט שראיתם בהרצאה.--איתמר שטיין 13:59, 17 באוגוסט 2012 (IDT)

ציונים בלינארית

איפה יש ציונים???

-> היו ציונים... אבל בגלל שהם לא היו שלכם הייתם קטנוניים והתלוננתם עליהם.. אז חסמו אותי.. ועכשיו אין ציונים! ScoobyDoo

תרגיל 5 שאלה 10 ,11

1.מה זה חזקת העתקות לינאריות? 2.מה מסמן הI בשאלה 11?

1. הרכבה של הע"ל, במקום לרשום ToToToT(הרכבה) רושמים פשוט T^4 2.העתקת היחידה. I(x,y,z) = (x,y,z.

-> מה טוטוטו ?! מה אתה רכבת?! ScoobyDoo

תרגיל 5 שאלה 10

אפשר כיוון לפתרון של א'?

תשובה: שים לב שאם [math]\displaystyle{ v \in V }[/math] אז [math]\displaystyle{ T(v)=T^4(v)=T(T^3(v)) }[/math].--איתמר שטיין 22:57, 18 באוגוסט 2012 (IDT)

מבחנים משנים עברו

שימו לב ש כאן יש מבחנים משנים עברו, כמו גם קישורים לאתרים של פרופ' רזניקוב וצבאן ששם יש עוד הרבה מבחנים, לחלקם יש גם פתרונות.--איתמר שטיין 18:11, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

בנוסף, באתר של אגודת הסטודנטים אפשר למצוא עוד כמה מבחנים.

שימו לב שיש מבחנים באלגברה לינארית 1 שמספר הקורס שלהם לא מתחיל ב 88 וזה אומר שהם לא של המחלקה למתמטיקה.

אפשר לעשות אותם בתור תרגול אבל

1) הם ממש קלים.

2) לפעמים יש שם חומר שלא למדנו, אז להתעלם מדברים כמו לכסינות, ערכים עצמיים, פולינום אופייני וכו' (שאלה מושגים שתלמדו עליהם בלינארית 2) .--איתמר שטיין 18:17, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

גם מכפלה פנימית לא למדנו נכון?

תשובה: נכון. לא למדנו.--איתמר שטיין 22:34, 20 באוגוסט 2012 (IDT)

רשימת משפטים

נשאר שבוע עד למבחן ועדיין לא פורסמה רשימת המשפטים. ABAB 08:39, 22 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלתי את מיטל, רשימה תפורסם לכל המאוחר ביום ראשון.--איתמר שטיין 14:34, 23 באוגוסט 2012 (IDT)

קישור

תוסיפו את הקישור [הזה][1] בדף --Caspim 09:33, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מתי המבחן?

? יום חמישי ב16:00 --Caspim 13:28, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

אני חושב שכן(ב30/08/2012) --Avital 16:58, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מחשבון ועוד משהו

1) יהיה אפשר להשתמש במחשבון במבחן בליניארית(בבקשה רק תשובה ממישהו שבטוח 100%)?
2) רמת הקושי של המבחן קלה/קשה/שווה לרמת הקושי של המבחן הזה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a63.pdf ?
--Avital 16:06, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

מצטרף לשאלות ABAB 17:22, 24 באוגוסט 2012 (IDT)

יש פתרון למבחן בשאלה 2?

בשאלה 1 סעיף ב במבחן זה מבקשים לחשב מטריצות מייצגות של טי, טי בריבוע, טי בשלישית, טי ברביעית וכולי.. מה הכוונה וכולי ? כמה עוד מטריצות מייצגות של הע"ל צריך לחשב ?

(לא מרצה / מתרגל): בשאלה 1 תחשב את המטריצות המייצגות, תגיע אחרי כמה כאלו למטריצה שממנה כבר לא יהיה מה לחשב. לגבי שאלה 2, אני אנסה להעלות לפה פתרון בקרוב --גיא 17:10, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

פתרון שאלה 2 מדיה:001.jpg --גיא 17:31, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

התשובה לשאלה 1 ב' צריכה להיות מטריצות מהצורה 4X4 (זה כולל שורות אפסים)  ? כי כל פעם הראו לנו משהו אחר כך שאני לא בטוח איך התשובה אמורה להראות בסוף

ואם כן האם צריך להשאיר את המטריצה כמו שהיא או להוריד את שורות האפסים? -(אני זוכר שלא משנים/מורידים אותה אבל אני לא בטוח)

(לא מרצה / מתרגל) מה זאת אומרת למחוק שורות? כל שורה במטריצה חשובה! אין למחוק שורה מן המטריצה, אחרת היא משתנה. וכן, זה כולל שורות אפסים --גיא 18:51, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובות: מה שגיא אמר נכון. התשובות ל 1ב צריכות להיות מטריצות [math]\displaystyle{ 4\times4 }[/math]. לא מוחקים שורות אפסים.

הפתרון שגיא העלה לשאלה 2 נכון. שימו לב שזה בדיוק המצב שיש סכום ישר [math]\displaystyle{ V\oplus W }[/math].--איתמר שטיין 20:44, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

שאלה לגבי שאלה 6 מבחן תשע"ב ד"ר בועז צבאן

במבחן של ד"ר בועז צבאן הנ"ל, בשאלה 6, מה הכוונה ב[math]\displaystyle{ \bar{1} }[/math] ? המספר שחיבורו ל1 נותן 0 בשדה ?

למיטב הבנתי מדובר פשוט על 1. הסימון 1 עם קו מעליו, בא להציג את מחלקת השקילות של 1 באשר לשארית חלוקה בשלוש (כלומר במקום ה-1 הזה יכול לבוא 4, או 7, וכו, ולך זה לא ישנה כי כולם אותו דבר בשדה הנתון).

תשובה: זה פשוט [math]\displaystyle{ 1 }[/math] . יש כאלה שכותבים את האיברים של [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] עם קו מעליהם כדי להדגיש שזה לא מספר רגיל.--איתמר שטיין 20:47, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

בשאלה 8

למה צריך להסתבך באינדוקציה? אי אפשר לעשות פשוט n-1 פעולות עמודה (החלפת עמודות) ואז מקבלים את מטריצת היחידה?

תשובה: אתה מדבר על תרגיל 5 שאלה 8? אתה צודק. לא חייבים.--איתמר שטיין 21:46, 25 באוגוסט 2012 (IDT)

זמני תרגול+הרצאה יום ראשון -26.7

לא הבנתי את הזמנים שמלי שלחה ושינתה

מה שהבנתי זה:

לשתי הקבוצות יש הרצאה- ב- 10:00-12:00 בבוקר

ואז לקבוצה של איתמר יש תרגול ב - 12:00-14:00

האם זה הזמנים הנכונים??

משפט 17 ו-2

לא הבנתי מה המשפט אומר , מה זה (r(T ?

ובמשפט 2 ככה הגדרנו סכום ישר האם הכוונה פה שההגדרה של סכום ישר הוא שהחיתוך הוא אפס ואז להראות שזה או"א לכל וקטור יש הצגה יחידה

תשובה: לגבי משפט 17: [math]\displaystyle{ r(T)=rank(T) }[/math] ו [math]\displaystyle{ r([T]^E_F)=rank([T]^E_F) }[/math].

לגבי משפט 2: כן, אם מגדירים סכום ישר לפי זה שחיתוך המרחבים הוא [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math].--איתמר שטיין 16:08, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

הוכחה שדרגת העמודות שווה לדרגת השורות

למי שביקש ממני היום הוכחה

נזכור כי דרגת העמודות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב העמודות (המרחב הנפרש על ידי עמודות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

ודרגת השורות של מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מימד מרחב השורות (המרחב הנפרש על ידי שורות [math]\displaystyle{ A }[/math]).

הוכחה לכך שדרגת העמודות של מטריצה שווה לדרגת השורות של מטריצה:

תהי [math]\displaystyle{ A \in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה כלשהיא ונניח שדרגת העמודות שלה היא [math]\displaystyle{ k }[/math].

כלומר [math]\displaystyle{ dim{C(A)}=k }[/math].

ההוכחה מחולקת לכמה שלבים.

שלב א': למצוא מטריצות [math]\displaystyle{ D,R }[/math] כך שמספר העמודות ב [math]\displaystyle{ D }[/math] ומספר השורות ב [math]\displaystyle{ R }[/math] הם [math]\displaystyle{ k }[/math]. ומתקיים [math]\displaystyle{ A=DR }[/math].

יהיה [math]\displaystyle{ B=\{b_1,\ldots , b_k\}\subseteq \mathbb{F}^m }[/math] בסיס עבור [math]\displaystyle{ C(A) }[/math].

נסמן ב [math]\displaystyle{ D }[/math] את המטריצה שעמודותיה הם איברי [math]\displaystyle{ B }[/math].

כלומר

[math]\displaystyle{ D=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix}\in \mathbb{F}^{m\times k} }[/math]

נשים לב שבגלל ש [math]\displaystyle{ B }[/math] בסיס ל [math]\displaystyle{ C(A) }[/math] הוא פורש כל עמודה של [math]\displaystyle{ A }[/math].

כלומר לכל עמודה [math]\displaystyle{ C_i(A) }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ C_i(A)\in span\{b_1,\ldots, b_k\} }[/math].

נסמן [math]\displaystyle{ [C_i(A)]_B=\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A) = \alpha_{1,i}b_1+\alpha_{2,i}b_2+\ldots+\alpha_{k,i}b_k }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ C_i(A)=\begin{bmatrix} |&|&&| \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \\ |&|&&| \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} = D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix} }[/math]

נגדיר מטריצה [math]\displaystyle{ R \in \mathbb{F}^{k \times n} }[/math] לפי [math]\displaystyle{ R_{i,j}=\alpha_{i,j} }[/math].

נשים לב ש הכפל [math]\displaystyle{ DR }[/math] מוגדר היות ומספר העמודות ב [math]\displaystyle{ D }[/math] ומספר השורות ב [math]\displaystyle{ R }[/math] הם [math]\displaystyle{ k }[/math].

נקבל ש[math]\displaystyle{ C_i(DR)=DC_i(R)=D\begin{bmatrix} \alpha_{1,i} \\ \alpha_{2,i} \\ \vdots \\ \alpha_{k,i} \end{bmatrix}=C_i(A) }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ DR=A }[/math].

סוף שלב א'.

שלב ב': לראות ש [math]\displaystyle{ A=DR }[/math] אומר שדרגת השורות של [math]\displaystyle{ A }[/math] קטנה מדרגת השורות של [math]\displaystyle{ R }[/math] ולהסיק מסקנות.

לפי כפל שורה שורה [math]\displaystyle{ R_i(A)=R_i(D)R=D_{i,1}R_1(R)+D_{i,2}R_2(R)+\ldots + D_{i,k}R_k(R) }[/math]

כלומר

[math]\displaystyle{ R_i(A) \in span\{R_1(R),R_2(R), \ldots , R_k(R)\} }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ R(A) \subseteq R(R) }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimR(R) \leq k = dimC(A) }[/math]

(מרחב השורות של המטריצה [math]\displaystyle{ R }[/math] לא יכול להיות יותר מ [math]\displaystyle{ k }[/math] כי יש ב [math]\displaystyle{ R }[/math] רק [math]\displaystyle{ k }[/math] שורות.)

זה מוכיח שלכל מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מתקיים ש [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimC(A) }[/math].

סוף שלב ב'

שלב ג': סיום.

נשים לב ש [math]\displaystyle{ dimC(A) = dim R(A^t) \leq dimC(A^t) = dimR(A) }[/math]

בסה"כ קיבלנו [math]\displaystyle{ dimC(A) \leq dimR(A) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ dimR(A) \leq dimC(A) }[/math] ולכן

[math]\displaystyle{ dimR(A)=dimC(A) }[/math] מש"ל. --איתמר שטיין 16:39, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

שלישי חינם

אם יבקשו במבחן להוכיח את שלישי חינם אני יצטרך להוכיח שמספר האיברים בקבוצה פורשת >= מספר האיברים בקבוצה בת"ל ?

תשובה: אני מתאר לעצמי שלא. אבל שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--איתמר שטיין 15:46, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: הוכחנו בכיתה משפטים על פורשת מינימלית ובת"ל מקסימלית, והם בהחלט יכולים להסתמך על כך. --איתמר שטיין 16:49, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה שלישי חינם? ABAB 19:31, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

בשביל להוכיח את משפט הדרגה של הע"ל

האם אפשר להוכיח את זה כך:

תהיה A מטריצה מעל F mxn. נבנה הע"ל מ Fn ל F m ע"י: T(V) = AV.

וברור כי: rank(A) = C(A) = Im(T). ker(T) = N(A).

ואז להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות ולקבל את הדרוש?

תשובה: ההוכחה הזאת נכונה מתמטית. אבל מה שאתה עושה פה זה להוכיח את משפט הדרגה של ההעתקות בעזרת משפט ההעתקה של מטריצות (שזה כמעט אותו משפט).

לכן לא נראה לי שזה טוב. אם אתם מתבקשים להוכיח את משפט הדרגה תשתמשו בהוכחה הסטנדרטית.--איתמר שטיין 13:12, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל אמרתם שמותר להשתמש בכל המשפטים, אלא אם כן דרשו להוכיח אותם. אז למה אי אפשר להשתמש במשפט הדרגה של מטריצות?

תשובה: כי לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של העתקות זה כמו לדרוש להוכיח את משפט הדרגה של מטריצות. ע"י ייצוג לפי בסיסים זה הופך לאותו משפט.

דרך אגב, אני מודע לכך ששאלות הוכחה במבחן הן תמיד השאלות שלא ברור לגביהן במה מותר להשתמש ובמה לא. לכן אני מבין את השאלות שאנשים שואלים כאן. הדרך הכי בטוחה להתרחק מצרות היא לדבוק בהוכחות שראיתם בהרצאות--איתמר שטיין 16:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

נראה לי יש טעות בהקלדה של רשימת המשפטים

במשפט 16, אני דיי בטוח שזה צריך להיות איזומורפי ל F^dimWxdimV ולא ל F^dimVxdimW
זה כמובן לא משנה כי [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{dimV \times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW \times dimV} }[/math] ע"י השיחלוף שהוא איזו'. ABAB 23:03, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

אבל האם אפשר ישירות להוכיח זאת? זאת אומרת בלי לעשות אחר כך עוד הע"ל?

תשובה: אתה צודק שהטענה ה"טבעית" יותר היא [math]\displaystyle{ Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV} }[/math]. אבל אם אם יבקשו במבחן להוכיח ש [math]\displaystyle{ Hom(V,W) \cong \mathbb{F}^{dimV\times dimW} }[/math] אז תוכיח את הטענה הקודמת ותשתמש ב traspose בשביל להוכיח ש

[math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{dimV\times dimW} \cong \mathbb{F}^{dimW\times dimV} }[/math].

אני חושב שזאת הדרך הכי פשוטה--איתמר שטיין 15:50, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

הוכחה של למת ההחלפה של שטייניץ

למי ששאל אותי היום על הוכחה של למת ההחלפה

יש כאן קישור הוכחה ללמת ההחלפה של שטייניץ (זה נמצא גם בעמוד הראשי של אלגברה לינארית 1).--איתמר שטיין 21:56, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

A הפיכה משמאל => A הפיכה

אפשר להוכיח במבחן באמצעות הע"ל? כלומר:
[math]\displaystyle{ T(X)=A\cdot X }[/math] איזו' ולכן קיים [math]\displaystyle{ B }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ A\cdot B=I }[/math] ??
תודה ABAB 23:27, 26 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני לא רואה סיבה שלא, אבל ליתר בטחון שלחתי למיטל מייל עם השאלה הזאת.--איתמר שטיין 15:51, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובת מיטל: אפשר ורצוי.--איתמר שטיין 16:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

משפט מספר 8

כשרשמו לנו אותו לא נמצאת ההוכחה, וניתן רק להוכיח אותו בעזרת איזומופריזם בהמשך, אני אשמח אם תסביר בקצרה אתה ההוכחה הזאת ( לא משנה לי אם בעזרת מטריצות מעבר או איזומורפיזם)

תשובה: נניח ש [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{n \times n} }[/math] הפיכה משמאל, כלומר קיימת [math]\displaystyle{ B\in \mathbb{F}^{n \times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ BA=I }[/math] (מי שרגיל שזאת ההגדרה של הפיכות מימין אז שיניח ש [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה מימין).

נגדיר העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:\mathbb{F}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{F}^{n \times n} }[/math] על ידי

[math]\displaystyle{ T(X)=AX }[/math].

נשים לב ש [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע כי אם [math]\displaystyle{ T(D_1)=T(D_2) }[/math] אז [math]\displaystyle{ AD_1=AD_2 }[/math] אם נכפול משמאל ב [math]\displaystyle{ B }[/math] נקבל ש [math]\displaystyle{ D_1=D_2 }[/math].

היות ו [math]\displaystyle{ T }[/math] העתקה לינארית. העובדה ש [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע גוררת שהיא גם על.

בפרט [math]\displaystyle{ I \in Im(T) }[/math] כלומר קיימת מטריצה [math]\displaystyle{ C \in \mathbb{F}^{n \times n} }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T(C)=I }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ AC=I }[/math].

נשאר רק להראות ש [math]\displaystyle{ B=C }[/math] וזה קל היות ו [math]\displaystyle{ B= BI= B(AC)=(BA)C=IC=C }[/math]. מש"ל--איתמר שטיין 15:59, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

למה העובדה ש T חח"ע גורר שהיא על?

תשובה: טענה: אם [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] העתקה לינארית כך ש [math]\displaystyle{ dimV=dimW=n }[/math] אז [math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ T }[/math] על.

הוכחה: לפי משפט הדרגה [math]\displaystyle{ dimKer(T)+dimIm(T)=dimV=n }[/math]

עכשיו

[math]\displaystyle{ T }[/math] חח"ע [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ Ker(T)=\{0\} }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ dimKer(T)=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ dimIm(T)=n }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ Im(T)=W }[/math] [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ T }[/math] על --איתמר שטיין 18:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

משפט 16

אני לא מוצאת הוכחה לזה בסיכומי ההרצאות שלי... מישהו יכול להפנות אותי להוכחה או להגיד לי איפה זה בערך נמצא בסיכומים? תודה!--Inbarsavoray 13:52, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: תחפשי הוכחה לזה שבהינתן בסיסים [math]\displaystyle{ B,C }[/math], פונקציית ייצוג לפי בסיסים היא איזומורפיזם

[math]\displaystyle{ [\quad]^B_C:Hom(V,W)\rightarrow \mathbb{F}^{dimW \times dim V} }[/math]--איתמר שטיין 16:02, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

פתרון תרגיל 4

אפשר בבקשה להעלות את הפתרון לתרגיל 4? עוד לא העלו פיתרון.. תודה!

ה"ל מעל Zp

מה זה אומרת ה"ל מעל Zp?

העתקה לינארית [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ V,W }[/math] הם מרחבים וקטוריים מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math].--איתמר שטיין 18:07, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מטריצות בסיסיות

אנחנו צריכים לדעת לפתור שאלות כמו שאלה 12 פה: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf

תשובה: כן.--איתמר שטיין 18:08, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מה זה מטריצה בסיסית?

(לא מרצה/מתרגל) מטריצה Eij היא מטריצה עם 1 במקום הij ו0 בשאר המקומות, נקראת בסיסית.

תשובה: התשובה שמעלי נכונה. [math]\displaystyle{ E_{i,j} }[/math] זה סימון סטנדרטי. כדאי לדעת גם ש הקבוצה [math]\displaystyle{ \{E_{i,j}\} }[/math] של כל המטריצות האלה מהווה בסיס למרחב המטריצות.--איתמר שטיין 20:14, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מבחן 2005 מועד ב' שאלה 5'

בשאלה 5 פה:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1b65.pdf השאלה היא כמה פתרונות שלמים יש למערכת מעל R בין 0ל6 או כמה פתרונות יש למערכת מעל Z7?

(לא מרצה / מתרגל) פתרונות המשוואה מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math]--גיא 19:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

גיא צודק.--איתמר שטיין 20:15, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

הפיכות מטריצה

אם אומרים ש A הפיכה משמאל, זה אומר שקיימת B כך ש AB=I או ש BA=I?

(לא מרצה / מתרגל) קיימת B כך ש-BA=I. אם אומרים שהיא הופכית משמאל אז למעשה אומרים שיש לה מטריצה הופכית מצד שמאל --גיא 19:22, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) בדיוק הפוך..

(לא מרצה / מתרגל) אני די בטוח שמה שאמרתי נכון, נחכה שאחד המתרגלים / מרצים יענה --גיא 20:05, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: יש כאלה שמגדירים ככה ויש כאלה שמגדירים הפוך. אין בזה מוסכמה גורפת. אני רגיל כמו שגיא הגדיר, אבל הבנתי שלפחות בהרצאה של מיטל הגדירו הפוך.--איתמר שטיין 20:17, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה / מתרגל) - אני אצל מיטל וככה היא לימדה אותנו גם --גיא 20:23, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

(לא מרצה/מתרגל) אני אצל מיטל והיא למדה אותנו כמו שאני אמרתי...

משפט 1

מישהו יכול להעלות בבקשה פתרון למשפט 1 מהמשפטים להוכחה ?

תשובה:

הוכחה לטענה ש [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] ניתן להציג את [math]\displaystyle{ A }[/math] כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

שלב א':

כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים

[math]\displaystyle{ (\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j} }[/math]

שלב ב': הוכחת [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math].

אם [math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה.

שלב ג': מטריצה [math]\displaystyle{ C }[/math] בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה. כי לכל מטריצה [math]\displaystyle{ B }[/math] שהיא (נניח ש [math]\displaystyle{ i }[/math] היא שורת האפסים)

מתקיים לפי כפל שורה שורה [math]\displaystyle{ R_i(AB)=R_i(A)B=0 \neq R_i(I) }[/math].

שלב ד': נתחיל להוכיח את [math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math].

אם [math]\displaystyle{ A }[/math] הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא [math]\displaystyle{ I }[/math].

הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של [math]\displaystyle{ A }[/math] ב [math]\displaystyle{ P }[/math].

קיימות מטריצות אלמנטריות [math]\displaystyle{ E_1,\ldots ,E_k }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P }[/math].

[math]\displaystyle{ P }[/math] הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות.

אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא [math]\displaystyle{ I }[/math] או שיש בה שורת אפסים.

לכן [math]\displaystyle{ P=I }[/math]. (מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה).

שלב ה: סיום

נותר רק לכפול משמאל את

[math]\displaystyle{ E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I }[/math].

ב [math]\displaystyle{ (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} }[/math].

ולקבל

[math]\displaystyle{ A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1} }[/math]

היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם מטריצה אלמנטרית.

קיבלנו ש[math]\displaystyle{ A }[/math] היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. --איתמר שטיין 20:47, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

הע"ל מעל שדה

מה זה אומר הע"ל מעל שדה מסויים?

תשובה: אומרים ש [math]\displaystyle{ T }[/math] היא העתקה לינארית מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אם היא העתקה לינארית

[math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ V,W }[/math] מ"ו מעל השדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].

(שימו לב ש [math]\displaystyle{ V,W }[/math] חייבים להיות מעל אותו שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] אחרת ההגדרה של העתקה לינארית היא חסרת משמעות, כלומר אין פשר לדרישה [math]\displaystyle{ T(\alpha v) = \alpha T(v) }[/math]).--איתמר שטיין 20:19, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

מרחב הפולינומים..

יש לי כמה שאלות:

1. מה הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים ממעלה 2?

2. איך לדוגמא מייצגים את 1+X^2 בתור כפל של סקלרים בבסיס הסטנדרטי?

תשובה: 1. [math]\displaystyle{ \left \{ 1,X,X^2 \right \} }[/math]

2. (1,0,2)

שאלה 11 ב2005 מועד א'

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a65.pdf איך עושים את 11?

תשובה: תפתור בספר של צבאן את שאלה 4.6 (סעיפים א' ב') בפרק א ואז קל לפתור את שאלה 11.

אם אתה לא מצליח או שזה עדיין לא ברור אני אסביר יותר במפורט.

באמת אולי היינו צריכים להציג במפורש את משפט פרמה הקטן בקורס הזה.--איתמר שטיין 22:38, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אתה יכול להסביר יותר במפורט?

תשובה: קודם אני אציג את הפתרון של תרגיל 4.6

סעיף א) בשדה ממאפיין [math]\displaystyle{ p }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ (a+b)^p=a^p+b^p }[/math].

זה בגלל שלפי הבינום של ניוטון

[math]\displaystyle{ (a+b)^p = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}a^kb^{p-k} }[/math] ו [math]\displaystyle{ p }[/math] מחלק את [math]\displaystyle{ \binom {p}{k} }[/math] כש [math]\displaystyle{ 0\lt k\lt p/math\gt . לכן כל מה שנשאר מהסכום אלה האיברים הראשון והאחרון \lt math\gt a^p+b^p }[/math], כל השאר הם [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. כי המאפיין הוא [math]\displaystyle{ p }[/math].

סעיף ב) לכל [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}_p }[/math], מתקיים ש [math]\displaystyle{ a^p=a }[/math].

הוכחה: באינדוקציה על [math]\displaystyle{ a }[/math]. אם [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] הטענה נכונה בבירור.

נניח שהטענה נכונה עבור [math]\displaystyle{ a }[/math], נוכיח אותה עבור [math]\displaystyle{ a+1 }[/math]. לפי סעיף א' [math]\displaystyle{ (a+1)^p=a^p+1^p=a^p+1 }[/math].

ולפי הנחת האינדוקציה [math]\displaystyle{ a^p+1=a+1 }[/math].

לכן בסך הכל [math]\displaystyle{ (a+1)^p=a+1 }[/math].

שזה מה שרצינו להוכיח.

עכשיו נעבור לשאלה במבחן.

אם [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Z}_p }[/math].

אז [math]\displaystyle{ T(a)=a^p=a }[/math]. שזו העתקת הזהות ולכן היא באמת העתקה לינארית.

שזה אומר שסעיף 4 נכון. אבל זה עדיין לא מסיים את העבודה כי יכול להיות שגם סעיף 3 נכון, והוא יותר חזק מסעיף 4.

נניח ש [math]\displaystyle{ char(\mathbb{F}=p }[/math] ונוכיח ש [math]\displaystyle{ T }[/math] היא העתקה לינארית מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math].

שלב ראשון :[math]\displaystyle{ T(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=T(a)+T(b) }[/math].

שלב שני: [math]\displaystyle{ T(\alpha a)=(\alpha a)^p=(\alpha)^p a^p = \alpha a^p = \alpha T(a) }[/math]. (שים לב ש [math]\displaystyle{ \alpha\in \mathbb{Z}_p }[/math])

לסיכום, התשובה הנכונה היא 3.

ואיך היינו יכולים לפתור את התרגיל הזה בלי המשפט?

תשובה: אני לא רואה דרך סבירה.--איתמר שטיין 18:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

דרך אגב, למיטב ידיעתי (אבל אני לא מבטיח) אין במבחן שלכם תשובות "נכונות" ותשובות "יותר נכונות". כלומר אם שאלה כמו שאלה 11 הייתה מופיעה במבחן שלכם. לסעיף 4 היינו מוסיפים: "אבל יש שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] כלשהוא עם מאפיין [math]\displaystyle{ p }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T }[/math] אינה העתקה לינארית" --איתמר שטיין 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

הבוחן שהיה

אתם יכולים להעלות פתרונות לבוחן אמצע..?

אני מקווה שאני אספיק--איתמר שטיין 16:24, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

שמתי פתרון בדף הראשי.--איתמר שטיין 18:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

איך פותרים את תרגיל 4

פה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin1a64.pdf

?

שיטה א': תמצא דוגמאות ששוללות את כל האופציות הלא נכונות.

שיטה ב': היה לכם בשיעורי הבית (בתרגיל 4) שאלה שתעזור להבין מה הפתרון הנכון. (תזכרו שמטריצות והעתקות מתנהגים אותו דבר).

אם זה עדיין לא ברור אני אסביר יותר.--איתמר שטיין 22:42, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

אני לא מצליח..

שיטה א': נגדיר [math]\displaystyle{ T(x_1,x_2, \ldots ,x_{32})=(0,x_1,x_2, \ldots , x_{31}) }[/math] (העתקת הזזה).

זאת דוגמא נגדית ל 2,3,4 . לכן 1 נכון.

שיטה ב': בתרגיל 4 שאלה 7 הוכחתם שבהכרח מתקיים ש [math]\displaystyle{ T^{32}=0 }[/math].

מקווה שזה ברור.--איתמר שטיין 16:28, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

כן ברור אבל איך אפשר להוכיח ש T^32 = 0?

תשובה: באותה טכניקה שהשתמשתם בתרגיל 4 שאלה 7.

הרי קיים [math]\displaystyle{ k }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ T^k=0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ T^{k-1}\neq 0 }[/math].

תוכיח שקיים [math]\displaystyle{ v }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ v,T(v), \ldots ,T^{k-1}(v) }[/math] היא קבוצה בת"ל בגודל [math]\displaystyle{ k }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ k \leq n }[/math]. ולכן [math]\displaystyle{ T^n=T^{32}=0 }[/math].--איתמר שטיין 16:50, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

מי אמר אבל ש T לא שווה לאפס? ולכן [math]\displaystyle{ T^{k-1}\neq 0 }[/math] לא נכון

תשובה: אז מה? אם [math]\displaystyle{ T=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ k=1 }[/math] ואז [math]\displaystyle{ T^{k-1}=T^{0}=I \neq 0 }[/math].--איתמר שטיין 17:04, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

בסיס ומימד של חיתוך ת"מ

התבקשתי להעלות דוגמאות:דוגמאות --שירה ג 22:34, 27 באוגוסט 2012 (IDT)

דרגת העתקה שווה לדרגת המטריצה המייצגת

תהי [math]\displaystyle{ T:V\rightarrow W }[/math] הע"ל. כיצד מוכיחים כי [math]\displaystyle{ rank(T) = rank([T]_{C}^{B}) }[/math]
חיפשתי ולא מצאתי את ההוכחה.

תודה! ABAB 12:19, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תשובה: אני מתאר לעצמי שההוכחה שראיתם בכיתה היא משהו בסגנון הזה: [math]\displaystyle{ rank([T]^B_C)= dim C([T]^B_C)= dim \{[T]^B_Cv \mid v \in \mathbb{F}^n\}=dim\{[T]^B_C[u]_B \mid u \in V \} = dim\{[T(u)]_C \mid u \in V\} }[/math]

(בגלל ש [math]\displaystyle{ [\quad]_C }[/math] היא איזומורפיזם)

[math]\displaystyle{ =dim\{T(u) \mid u \in V\} = dimIm(T) = rank(T) }[/math] --איתמר שטיין 18:31, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

משפט ההגדרה

מה הניסוח של משפט ההגדרה של ה"ל ומה הניסוח של משפט הדרגה?

• משפט ההגדרה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, מתקיים dimv=n. אם ניקח {v1,...,vn} בסיס עבור V, וכן{w1,...,wn} קבוצה מוכלת בW, אזי קיימת T מV לW כך שהיא הע"ל, והיא יחידה, והיא מקיימת T(vi)=wi לכל i בין 1 ל-n.

משפט הדרגה - יהיו V,W מ"ו מעל שדה F, ותהי T מV לW הע"ל. אזי מתקיים: (dim(ker(t))+dim(im(t))=dim(v

ובמילים- מימד התמונה (דרגת ההעתקה) ועוד מימד הגרעין (האפסיות של T) שווה למימד של V.

שאלה כללית

T : Z2[x] → Z2 מה מסמל הסוגרים המרובעים שמסביב לX?

פולינומים מעל Z2 במשתנה x

כפילות הדט

בשביל להוכיח את כפילות הדט צריך להסתמך על כך שפונקציה שמקבלת A ומחזירה את הדט של AB היא כמו דטרמיננטה וכן את המשפט שאומר שפונקציה כמו דטרמיננטה זה בעצם (f(I כפול הדט של A מה צריך להוכיח ועל מה אפשר להסתמך?

וגם במשפט לאפלס(פיתוח לפי שורה ) אפשר להסתמך על חישוב לפי מטריצת בלוקים?

תשובה: לגבי כפליות הדטרמיננטה.

אני מתאר לעצמי שאפשר להסתמך על כך שפונקציה "כמו דטרמיננטה" היא [math]\displaystyle{ f(I)|A| }[/math]. אבל בטח שצריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ f(B)=|AB| }[/math] (או להפך, אני לא זוכר כרגע), היא כמו דטרמיננטה. זאת כל ההוכחה.

כדי להיות בטוח אני אשלח למיטל מייל.

לגבי משפט לפלס. אתה יכול לפרט יותר את השאלה? באיזה הוכחה אתה רוצה להשתמש (יש כמה) ועל איזה משפט בדיוק אתה רוצה להסתמך בלי הוכחה? --איתמר שטיין 18:37, 28 באוגוסט 2012 (IDT)

תרגיל ממבחן דמה

http://www.math-wiki.com/images/d/d5/11Linear1Dumbtest2.pdf

לא הצלחתי לפתור את תרגיל 6 ו-5 סעיף א, אשמח לעזרה!

משפט כפליות הדט'

האם תוכלו להעלות את ההכוחה ש|f(A)=|AB היא כמו דט'?