שיחה:89-214 תשעג סמסטר א: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
== מה זה <math>A_4</math>? == | == מה זה <math>A_4</math>? == | ||
מדובר בתת-חבורה של <math>S_4</math> של כל | מדובר בתת-חבורה של <math>S_4</math> התמורות הזוגיות. | ||
בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה משנה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה <math>\sigma</math> ניקח מתטריצה שהמודה ה-i שלה היא <math>e_{\sigma(i)}</math>, כאשר <math>e_{\sigma(i)}</math> הוא וקטור שרכיב ה-<math>\sigma(i)</math> שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של <math>S_n</math> לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, <math>GL_n</math>. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא <math>A_n</math>. | |||
מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי. | |||
'''לדוגמה:''' מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, <math>(ab)(bc)=(abc)</math> לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. | |||
מחזור באורך 4 אינו זוגי. <math>(ab)(bc)(cd)=(abcd)</math> | |||
גרסה מ־13:51, 14 בדצמבר 2012
מה זה [math]\displaystyle{ A_4 }[/math]?
מדובר בתת-חבורה של [math]\displaystyle{ S_4 }[/math] התמורות הזוגיות.
בקורס בליאנרית, למדתם שהחלפת עמודות של מטריצה משנה מחליפה את הסימן של הדטרמיננטה שלה. יש לנו התאמה בין תמורות למטריצות באופן הבא: עבור תמורה [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ניקח מתטריצה שהמודה ה-i שלה היא [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ e_{\sigma(i)} }[/math] הוא וקטור שרכיב ה-[math]\displaystyle{ \sigma(i) }[/math] שלו הוא 1 והשאר אפסים. על ידי חישוב פשוט ניתן להשתכנע שזה שיכון (הומומורפיזם חח"ע) של [math]\displaystyle{ S_n }[/math] לתוך חבורת המטריצות ההפיכות, [math]\displaystyle{ GL_n }[/math]. אוסף כל המטריצות כאלה עם דטרמיננטה 1 היא [math]\displaystyle{ A_n }[/math].
מה זה אומר בפועל? כל מטריצה כזו מתקבלת על ידי החלפת עמודות מספר זוגי של פעמים, שזה בעצם אומר שהתמורה מתקבלת כמכפלה של חילופים מאורך זוגי.
לדוגמה: מחזור באורך 3 מתקבל כמפלה של 2 חילופים, [math]\displaystyle{ (ab)(bc)=(abc) }[/math] לכן זוגי. תמורה שמבנה המחזורים שלה הוא 2 חילופים זרים, היא גם זוגית. מחזור באורך 4 אינו זוגי. [math]\displaystyle{ (ab)(bc)(cd)=(abcd) }[/math]