משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math]

שאלה 3

סעיף א

[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} }[/math]

נשים לב שבסכום זה יש [math]\displaystyle{ n }[/math] מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב [math]\displaystyle{ n }[/math] אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.

במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.

נגדיר:

[math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} }[/math]

בגלל ש [math]\displaystyle{ n^2+1\lt n^2+i }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ 1\leq i\leq n }[/math])

ברור ש

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ a_n\leq b_n }[/math]

בצורה דומה נגדיר

[math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} }[/math]

ויתקיים

[math]\displaystyle{ c_n\leq a_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1 }[/math]

ו

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1 }[/math]

לכן לפי כלל הסנדויץ

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1 }[/math]