|
|
| שורה 2: |
שורה 2: |
|
| |
|
|
| |
|
| ===סעיף ב=== | | ==שאלה 5== |
| *חלק א':
| |
| | |
| נשים לב שהטור
| |
| | |
| <math>\sum_{i=2}^{\infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}</math>
| |
| | |
| הוא טור חיובי ולכן הוא מתכנס בהחלט אם ורק אם הוא מתכנס
| |
| | |
| נשתמש במבחן קושי להתכנסות טורים חיוביים:
| |
| | |
| נביט על הסדרה:
| |
| | |
| <math>\sqrt[n]{{(\frac{n-1}{n+1})}^{n(n-1)}}={(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}</math>
| |
| | |
| נחשב את הגבול
| |
| | |
| <math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{(n-1)}=\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{n+1}
| |
| \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n-1}{n+1})}^{-2}
| |
| =\lim_{n\rightarrow \infty}{(1-\frac{2}{n+1})}^{n+1} \lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{n+1}{n-1})}^2
| |
| | |
| | |
| =e^{-2} \lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{2}{n-1})}^2
| |
| =e^{-2}
| |
| <1
| |
| </math>
| |
| | |
| (שימו לב ש
| |
| | |
| <math>\lim_{n\rightarrow \infty}{(1+\frac{x}{a_n})}^{a_n}=e^x</math> כאשר
| |
| <math>\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty</math>
| |
| )
| |
| | |
| ולכן לפי מבחן קושי הטור מתכנס
| |
