ולכן <math>f</math> דיפרנציאבילית ב <math>(0,0,0)</math>.
==שאלה 2==
דבר ראשון, בשביל בהירות. נסמן
<math>u=\frac{x}{x^2+y^2},\quad v= \frac{y}{x^2+y^2}</math>
כך שלמעשה ידוע <math>f_{uu}+f_{vv} = 0</math> וצריך להוכיח <math>g_{xx}+g_{yy} = 0</math>.
נכתוב את הביטויים <math>g_{xx},g_{yy}</math>
<math>g_x=f_uu_x+f_vv_x</math>
ולכן
<math>g_{xx}= (f_uu_x)_x+(f_vv_x)_x=(f_u)_xu_x+f_uu_{xx}+(f_v)_xv_x+f_vv_{xx}</math>
<math>=(f_{uu}u_x+f_{uv}v_x)u_x+f_uu_{xx}+(f_{vu}u_x+f_{vv}v_x)v_x+f_vv_{xx}</math>
<math>= f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}</math>
באופן דומה
<math>g_{yy}=f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy}</math>
לכן צריך לחשב את
<math>f_{uu}(u_x)^2+f_{uv}u_xv_x+f_uu_{xx}+f_{vu}u_xv_x+f_{vv}(v_x)^2+f_vv_{xx}+f_{uu}(u_y)^2+f_{uv}u_yv_y+f_uu_{yy}+f_{vu}u_yv_y+f_{vv}(v_y)^2+f_vv_{yy}</math>
נקבץ את הביטוי בצורה הבאה:
<math>(f_{uu}(u_x)^2+f_{uu}(u_y)^2+f_{vv}(v_x)^2+f_{vv}(v_y)^2)+(2f_{uv}u_xv_x+2f_{uv}u_yv_y)+(f_uu_{xx}+f_uu_{yy}+f_vv_{xx}+f_vv_{yy})</math>
הסוגריים הראשונות הן:
<math>f_{uu}(u_x)^2+f_{uu}(u_y)^2+f_{vv}(v_x)^2+f_{vv}(v_y)^2 = f_{uu}((u_x)^2+(u_y)^2)+ f_{vv}((u_x)^2+(u_y)^2)=(f_{uu}+f_{vv})((u_x)^2+(u_y)^2)=0((u_x)^2+(u_y)^2)=0</math>
בשביל שאר הסוגריים חייבים סוף סוף לחשב את הנגזרות של <math>u,v</math>.
<math>u_x=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}</math>
<math>u_y=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}</math>
בדומה
<math>v_x = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}</math>
<math>v_y = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}</math>
מכאן קל לראות ש <math>u_xv_x+u_yv_y=0</math>
ולכן הסוגריים השניים גם שווים ל 0.
נותר לעבוד על הסוגריים השלישיים
<math>f_uu_{xx}+f_uu_{yy}+f_vv_{xx}+f_vv_{yy}=(f_u)(u_{xx}+u_{yy})+(f_v)(v_{xx}+v_{yy})</math>
נחשב את <math>u_{xx},u_{yy}</math>
<math>(u_x)_x=(\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2})_x = \frac{-2x((x^2+y^2)^2)-2(x^2+y^2)(2x)(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^4}=\frac{-2x((x^2+y^2))-2(2x)(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3} = \frac{2x^3-6xy^2}{(x^2+y^2)^3}</math>
<math>(u_y)_y = (\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2})_y = \frac{(-2x)(x^2+y^2)^2 - 2(x^2+y^2)(2y)(-2xy)}{(x^2+y^2)^4} = \frac{(-2x)(x^2+y^2) - 2(2y)(-2xy)}{(x^2+y^2)^3}= \frac{-2x^3+6xy^2}{(x^2+y^2)^3}</math>
ולכן ברור ש
<math>u_{xx}+u_{yy} = 0</math>
באופן סימטרי
<math>v_{xx}+v_{yy}=0</math>
ולכן כל הביטוי הוא <math>0</math> וזה מוכיח את הדרוש
<math>x''(2)=\frac{(1-2)4-(0)(0+2)}{16}=-\frac{1}{4}</math>
==שאלה 4==