|
|
| שורה 3: |
שורה 3: |
|
| |
|
| ==שאלה 5== | | ==שאלה 5== |
| ===סעיף א===
| |
|
| |
| דרך א' לפתרון:
| |
|
| |
| היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>.
| |
|
| |
| דרך ב', חישוב:
| |
|
| |
| זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
| |
|
| |
| אם מחליפים
| |
|
| |
| <math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math>
| |
|
| |
| אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math>
| |
|
| |
| הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>.
| |
|
| |
| זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math>
| |
|
| |
| בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math>
| |
|
| |
|
| |
| ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math>
| |
|
| |
| <math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
| |
| =
| |
| \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
| |
| \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
| |
| </math>
| |
|
| |
| <math>=
| |
| \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
| |
| \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
| |
|
| |
| =
| |
|
| |
| \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+
| |
| \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r
| |
| =0+0=0
| |
| </math>
| |
