הבדלים בין גרסאות בדף "מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== ===מבחן ההשוואה הראשון=== יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <ma...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. | <math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר. | ||
+ | |||
+ | ===מבחן ההשוואה הגבולי=== | ||
+ | |||
+ | יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש: | ||
+ | <math>\forall_{x>=a}:f(x),g(x)>0</math> | ||
+ | |||
+ | יהי הגבול: | ||
+ | <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> | ||
+ | |||
+ | '''אזי:''' | ||
+ | |||
+ | אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים"). | ||
+ | |||
+ | אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס. | ||
+ | |||
+ | אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס. |
גרסה מ־08:43, 11 במאי 2013
אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון
מבחן ההשוואה הראשון
יהי , ותהי נק' כך שמתקיים .
אזי מתקיים:
מתכנס מתכנס
מתבדר מתבדר
דוגמא.
קבע האם מתכנס או מתבדר
פתרון. נשים לב כי היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
ולכן
מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
מבחן ההשוואה הגבולי
יהי , ותהיינה שתי פונקציות כך ש:
יהי הגבול:
אזי:
אם אז ו- מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
אם אז מתכנס מתכנס.
אם אז מתכנס מתכנס.