שיחה:88-113 תשעג סמסטר ב

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

הגשת התרגילים

מכיוון שנעשו קיצוצים ועכשיו בודקים לנו רק שאלה מכל תרגיל; האם נקבל הודעה איזו שאלה נבדקת ונגיש רק אותה, או שצריך להגיש את התרגיל במלואו?

>> מגישים את התרגיל במלואו

תרגילים 2+3

ליד תרגיל 2 כתוב "רשות", ליד תרגיל 3 כתוב "לא להגשה". האם זה רלוונטי לשתי הקבוצות? מאחר ובתרגול לא נאמר לנו דבר על כן שתרגיל 2 לא חובה ותרגיל 3 כלל לא צריך להגיש. (נאמר שאת שניהם נגיש לאחר פסח). תודה וחג שמח.

>> זה מידע שגוי שנרשם ע"י גורם שנחסם כרגע, העניין טופל, התרגילים להגשה. עדי

תרגיל 2, שאלה 1ב

אני לא מצליח להבין מה מבקשים ממני בשאלה 1 סעיף ב', אם תוכלי לעזור לי לפרש את ההנחייה אודה לך מאוד

>>הצבת מטריצה A בפולינום אומרת:

בכל מקום שיש משתנה X נציב את A, ובמקום האיבר החופשי [math]\displaystyle{ a }[/math] של הפולינום נשים את המטריצה הסקלרית [math]\displaystyle{ aI }[/math]

(אחרת לא ניתן לחבר בין הגורמים)

עדי

ריבובים ולכסינות

האם זה שריבוב אלג' של כל ע"ע שווה לגיאומטרי, זה תנאי מספיק אבל לא הכרחי ללכסינות?

כלומר האם כדי להראות שמטריצה היא לא לכסינה מספיק להראות ע"ע שהריבוב האלג' שלו לא שווה לגיא' שלו?

>>ראשית, מעט לוגיקה:

מבחינת הגדרות:

מספיק ש-X כדי ש-Y אומר: X גורר Y, או: אם X אז Y.

X הכרחי כדי ש-Y אומר: (לא X) גורר (לא Y), או: אם (לא X) אז (לא Y) שזה שקול ל- Y גורר X.

כלומר, מספיק והכרחי זה "אם ורק אם", אך שים לב שאתה מתאר אותם בהתאם, מספיק זו הגרירה בכיוון הראשון, והכרחי בכיוון השני.

בשאלה הראשונה דרשת "מספיק" (X=>Y), אך בשאלה השניה תיארת "הכרח" (Y=>X) (שתואר ע"י "מספיק" של השלילות (לא X => לא Y)) ולכן ה"כלומר" בין השאלות וודאי אינו נכון.

X => Y אז (לא Y) => (לא X), ולא Y => X או (לא X)=>(לא Y)

חזרה ללינארית, אלו התנאים:

לכסינה => הפ"א מתפרק לגורמים לינארים+הריבובים של כל ע"ע שווים

הפ"א מתפרק לגורמים לינארים+הריבובים של כל ע"ע שווים => לכסינה

כלומר, שיוויון הריבובים הוא הכרחי ללכסינות אך לא מספיק (לכן התשובה לשאלה זו היא לא), צריך גם שהפולנום יהיה מל"ל. למשל [math]\displaystyle{ (x-2)(x^2+1) }[/math] מעל הממשיים. הע"ע היחיד הוא 2 עם ר"א 1 ויתכן כי גם הריבוי הגיאומטרי יהיה 1. אבל הפ"א איננו מל"ל, ולכן המט' אינה לכסינה.

מל"ל כי: נצטרך n ע"ע (כולל ריבויים) ע"מ לקבל מטריצה אלכסונית D, מאותו גודל ודומה למקורית. שיוויון הריבויים כי: נרצה שיהיו n ו"ע, ע"מ שיהיה בסיס ו"ע לבניית המטריצה ההפיכה המלכסנת P.

לכן כדי להראות שמטריצה היא לא לכסינה אכן מספיק להראות ע"ע שהריבוב האלג' שלו לא שווה לגיא' שלו (לכן התשובה לשאלה זו היא כן):

X => Y אז (לא Y) => (לא X). או במקרה שלנו: "לכסינות מספיקה בשביל שוייון ריבויים" ששקול ל- "שיוויון ריבויים הכרחי ללכסינות" ששקול ל- "אי שיוויון ריבויים מספיק בשביל אי לכסינות"

עדי

תרגיל 3 שאלה 1.12

נראה כי השקילות טריוויאלית. הרי בעיקרון מה שיש להוכיח, בהינתן הגדרת ערך עצמי של מטריצה, הוא שערך עצמי של העתקה לינארית מוגדר היטב; כלומר, שכל מטריצה מייצגת שנבחר תיתן לנו את אותם הערכים העצמיים. אבל כאשר הה"ל מוגדרת באמצעות מטריצה מייצגת מסוימת, השקילות ברורה מתוך הגדרה, לא?...

>>השאלה יחסית טריויאלית, לכן שים דגש על פורמליות ההגדרות עבור ה"ל ועבור מטריצות, והראה את המעבר ביניהם ע"ס נתוני השאלה. עדי

פולינום מינימלי

רציתי לשאול בבקשה בקשר לשיעורי בית שיש שם מריצה 5*5 . אז הפולינום האופייני שיצא לי הוא 2^(x-3)^2*(x-1)* (x-2) עבור עע 1 הריבוי 1 עבור עע 2 ו3 הריבוי 2 . אז השאלה שלי נניח המטריצה לכסינה אז הפולינום המינימלי הינו המכפלה לעיל רק שכולם בדרגה אחת ( למדנו בתרגול ) .

כעת אם המטריצה אינה לכסינה - אז בהכרח הפולינום המינילי שווה לפולינום האופייני? האם יש משפט כזה ? או שעלי לבדוק את 2 האופציות הנוספות לפולינום מינימלי שבהן רק ע״ע 2 בריבוי 2 ופעם אחרת שרק ע״ע 3 בריבוי 2 ולבדוק שבהצבת המטריצה נקבל אפס באחד מהם . תודה

>>אם היא לכסינה אז אוטומטית המעלות יורדות ל-1, אם לא יש לבדוק את כל האופציות החל מהמעלה הנמוכה ביותר. עדי

דמיון מטריצות

אם למטריצות יש פולינום אופייני זהה/דטרמיננטה שווה/עקבה שווה זו הוכחה מספקת לדימיון?

או שהדרך היחידה להוכחה היא למצוא P שמקיימת:

A=P^-1 B P

>>אין זה מעיד על דמיון. מה עם מטריצות בעלות פ"א זהה, האחת לכסינה והשניה לא? למשל

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array} \right) }[/math] ומטריצת הזהות, הן לא יהיו דומות. עדי

שילוש

ישבנו מס' תלמידים, ופתרנו את שאלה 1 בתרגיל.. כשכל אחד פתר בעצמו והגענו לתוצאות שונות. האם כשבונים את המטריצה המשלשת , וחסרים לנו ווקטורים לבנייתה , עם אילו ווקטורים נשלים? האם אם הסטנדרטים או שצריך להשלים למטריצה משולשית שמתחת לאלכסון הכול 0 ומעליו הכול 1?

>>זה לא משנה לאיזה בסיס תשלימו, כמובן שהתוצאה, למעט על האלכסון, תהיה תלויה בבחירת הבסיס. האם לכולם יצאה משולשית?

בכל מקרה, הבסיס יכול להשפיע גם על מס' השלבים לבניית המשולשית, בעניין זה אמרתי בכיתה שמנסיון, לא מוכח, השלמה כמה שיותר אלמנטרית הזהה לו"ע שכבר מצאתם תזרז את התהליך. למשל אם יצא ו"ע:

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 2 \end{array} \right) }[/math]

אז אני הייתי משלימה ל-

[math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 2 \end{array} \right) }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 2 \end{array} \right) }[/math]

אבל כל השלמה, גם אם ביותר שלבים, תשלש

הצורה המשולשית שתהיה לה יחידות היא צורת הג'ורדן, אך לא למדתם את מציאת הבסיס שלה. עדי

בלוק ג'ורדן מקסימלי

ריבוי אלג' בפולינום המינימלי של ע"ע קובע את סדר הבלוק המקסימלי של אותו ע"ע בצורת ז'ורדן של המטריצה. אבל האם בלוק מסדר זה (עבור הע"ע) חייב להכרח להופיע לפחות פעם אחת? (יש כאן קצת בעיה של סמנטיקה לדעתי אם כי באמת מקסימלי אומר בד"כ שהוא חייב להופיע אני רק רוצה להיות בטוח). תודה

>>כן, הוא המקסימלי וחייב להיות לפחות אחד כזה. עדי

פתרון תרגילי בית

אפשר לפרסם פיתרונות לתרגילי הבית בבקשה ???

תרגיל 6, שאלה 4

בשאלה 4 (תרגיל 6 לינארית 2) לא כלכך ברור למה הכוונה - האם J מטריצת ג'ורדן אם שהיא דומה לה? מצאו כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש בJ - זה לא מסתדר לי עם זה ש J נתון.

>>זו מטריצת ג'ורדן, לא בהכרח בלוק ג'ורדן

אז הכוונה היא מטריצה מצורת ג'ורדן אני מניח אבל אז לא מסתדר איך היא מתאימה לערך עצמי מסויים

>>זו מטריצה עם ע"ע בודד: למדה, במקרה היא גם מצורת ג'ורדן. צריך להראות איך היא מתפרקת לבלוקים ע"פ הנתונים, 14=1+2+11? =4+4+6? ...

(אגב, שימו לב לרמז מתחת לקישור לתרגיל)

לבוחן ביום שני הקרוב

צריך לדעת למצוא שורשים לפולינומים ממעלה שלישית ויותר? (בחלק משיעורי הבית היו פולינומים כאלו).

לא ספציפית לבוחן, באופן כללי רצוי לדעת טכניקות לפירוק.

ופולינום מינימלי, ומשפט קיילי-המילטון נכללים בחומר לבוחן?

לא.

דף 8, שאלה 4

בסוף השאלה רשום: מצא c1 ו c2.. אבל אין כאלו סקלרים, שמקיימים את זה. אז למה הכוונה?

>> חישבו מה זה אומר שאין סקלרים כאלו?

רשימת משפטים

מה המישפטים שצריך לדעת למבחן?

ראה כאן

תודה

דף 8 שאלה 4

כשניסית למצוא דוגמא לצירוף לינארי עבור וקטור שכן שייך השמשת בוקטור (8,13,32), מאיפה הגיע הוקטור הזה..? תודה רבה!

אקראית. רציתי שתראו איך להעזר בנוסחאות המקדמים של בסיס א"ג (פוסט-גראם שמידט) כדי למצוא מקדמים של הבסיס המקורי (פרה-גראם שמידט). עדי

מטריצת מעבר

שלום!:) עדיין לא ברור לי העניין של מטריצת מעבר בין בסיסים.. איפה אפשר למצוא הסברים על זה? ודוגמאות? תודה מראש..:)

העובדה ש [math]\displaystyle{ B=\{v_1,...,v_n\} }[/math] הוא בסיס סדור למ"ו V אומרת שניתן להציג כל וקטור v במרחב כצירוף לינארי אחד ויחיד [math]\displaystyle{ v=\Sigma a_i v_i }[/math]. כלומר, אוסף הסקלרים [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n }[/math] מגדיר את v באופן אחד ויחיד ע"י הבסיס B.

באופן הבסיסי ביותר, תפקידה של מטריצת מעבר הוא לספק עבורינו יצוגם של וקטורים לפי בסיס אחד בהינתן יצוגן לפי בסיס אחר. כלומר, מספיק למצוא את יצוגם של וקטורי בסיס אחד לפי בסיס אחר, כדי למצוא את יצוגו של כל וקטור לפי הבסיס האחר. אז תוכל לבחור לעבור עם בסיס פשוט ונוח, ולדאוג לייצוג לפי הבסיס הנתון רק עבורו.

[math]\displaystyle{ [I]^B_D[v]_B=[v]_D }[/math]

לדוגמא:

יהיו [math]\displaystyle{ B=\{v_1=(1,1),v_2=(0,1)\},D=\{(1,0),(1,2)\} }[/math] בסיסים ל [math]\displaystyle{ R^2 }[/math].

אזי, מטריצת המעבר מ-B ל-D תהיה:

[math]\displaystyle{ [I]^B_D=\left([v_1]_D\ [v_2]_D\right) }[/math] (ז"א, מונחים כעמודות המטריצה) כאשר

[math]\displaystyle{ [v_1]_D=[\frac{1}{2}(1,0)+\frac{1}{2}(1,2)]_D=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) }[/math]

ו- [math]\displaystyle{ [v_2]_D=[-\frac{1}{2}(1,0)+\frac{1}{2}(1,2)]_D=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) }[/math].

המשמעות של זה היא שאם וקטור כללי [math]\displaystyle{ v=(x,y) }[/math] ב [math]\displaystyle{ R^2 }[/math] מיוצג בבסיס B ע"י:

[math]\displaystyle{ [(x,y)]_B=[x(1,1)+(y-x)(0,1)]_B=(x,y-x) }[/math]

אז הוקטור הכללי יהיה מיוצג בבסיס D ע"י:

[math]\displaystyle{ [v]_D=[I]^B_D[v]_B=\left([v_1]_D\ [v_2]_D\right)(x,y-x)^t=(x-\frac{1}{2}y,\frac{1}{2}x) }[/math].

ואכן מתקיים [math]\displaystyle{ (x,y)=(x-\frac{1}{2}y)(1,0)+\frac{1}{2}x(1,2) }[/math].

עבור ה"ל, המטריצה הנ"ל מקיימת [math]\displaystyle{ [I]^A_B[T]^B_C[I]^C_D }[/math], כלי שימושי מאוד כאשר מעדיפים למצוא מטריצה מייצגת עבור בסיסים נוחים יותר. באופן כללי ניתן להסתכל על מטריצת מעבר כמקרה פרטי של מטריצה מייצגת עבור T=I העתקת הזהות.

כמו כן מתקיים

[math]\displaystyle{ [T]^B_C[v]_B=[T(v)]_C,([T]^B_C)^{-1}=[T^{-1}]^C_B\ }[/math] ובפרט כאשר T=I, כלומר עבור מטריצות מעבר.

עדי