הבדלים בין גרסאות בדף "חשבון אינפיניטיסימלי 2 - פתרון מועד א תשע"ג"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←שאלה 5) |
||
שורה 106: | שורה 106: | ||
כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- <math>x=2,-2</math>. ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם <math>x\in(-2,2)</math> | כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- <math>x=2,-2</math>. ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם <math>x\in(-2,2)</math> | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב'=== | ||
+ | |||
+ | דבר ראשון, נפרק את הפונקציה באופן הבא: <math>f(x)=\frac{1+x}{(1-x^2)^2}=\frac{1}{(1-x^2)^2}+x\cdot\frac{1}{(1-x^2)^2}</math>. כעת נזכור כי <math>\frac{1}{(1-x)^2}=(\frac{1}{1-x})'=(\sum_{n=0}^\infty x^n)'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}</math> והפעולה של החלפת הנגזרת והסכום חוקית כיוון שהטור ההנדסי מתכנס במ"ש. | ||
+ | |||
+ | ולכן, <math>\frac{1}{(1-x^2)^2}=\sum_{n=1}^\infty n(x^2)^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n\cdot x^{2n-2}</math> ו- <math>x\cdot\frac{1}{(1-x^2)^2}=x\cdot\sum_{n=1}^\infty n(x^2)^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n\cdot x^{2n-1}</math> | ||
+ | |||
+ | לכן ניתן להגיע לכך ש- <math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty (nx^{2n-1}+nx^{2n-2})</math>. כעת כל מה שנישאר זה קצת לשחק עם המקדמים והמשתנים ככה שיצא טור מקלורן. (יש לשים לב שהמקדמים של הטור יהיו 1,1,2,2,3,3... ולכן נשתמש ב- ceil או floor לתאר את המקדמים) | ||
==שאלה 6== | ==שאלה 6== |
גרסה מ־19:42, 9 ביולי 2013
תוכן עניינים
שאלה 2
סעיף א
נציב ואז
לאחר הצבה נקבל
סעיף ב
על ידי חילוק פולינומים קל לראות ש
אז נתמקד בחישוב
לפי האלגוריתם לחישוב אינטגרל של פונקציה רציונאלית נחפש
כלומר קיבלנו מערכת משוואות
וקל לראות שהפתרון שלה הוא:
ברור ש
נותר לחשב את
לפי השלמה לריבוע
נבצע הצבה (רק בשביל נוחות) ואז נישאר עם
ולכן
אם נסכום את כל מה שקיבלנו נקבל שהתוצאה היא
ואם מסדרים את זה יוצא
שאלה 3
סעיף א
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ננסה לחשב את . נסתכל על . ע"י החלפת משתנים נקבל
קיבלנו . ניתן לראות ע"י אינטגרציה בחלקים () כי האינטגרל הוא ולכן מתקיים:
וזה כמובן לא מתכנס ולכן האינטגרל מתבדר
סעיף ב
צריך לבדוק אם מתכנס או מתבדר.
הצעה לפתרון: ניעזר בהצבה , לכן , כלומר . במקרה זה בתחום גם כן. לכן:
, והאינטגרל שהתקבל מתכנס על פי דיריכלה.
שאלה 4
הפרכה: ניקח את וההתכנסות היא במ"ש (קל להוכיח).
עוד פונקציה שמפריכה היא כאשר היא פונקציית דיריכלה. זאת אומרת,
שאלה 5
סעיף א'
קודם כל, נראה כי וקיבלנו טור חזקות כיוון ש- קבוע וכפל בקבוע לא משנה התכנסות או התבדרות של טור.
כעת נסתכל על החלק של טור החזקות בלבד. ניתן לחשב את רדיוס ההתכנסות שלו לפי דלאמבר:
כעת, נשאר לנו רק לבדוק התכנסות ב- . ניתן לראות בקלות שהאיבר הכללי של הסדרה לא ישאף ל-0 ב-2 המקרים האלה ולכן תנאי הכרחי להתכנסות של טור לא מתקיים. ניתן להסיק שהטור מתכנס אם ורק אם
סעיף ב'
דבר ראשון, נפרק את הפונקציה באופן הבא: . כעת נזכור כי והפעולה של החלפת הנגזרת והסכום חוקית כיוון שהטור ההנדסי מתכנס במ"ש.
ולכן, ו-
לכן ניתן להגיע לכך ש- . כעת כל מה שנישאר זה קצת לשחק עם המקדמים והמשתנים ככה שיצא טור מקלורן. (יש לשים לב שהמקדמים של הטור יהיו 1,1,2,2,3,3... ולכן נשתמש ב- ceil או floor לתאר את המקדמים)
שאלה 6
נזכור כי הנוסחה לחישוב אורך עקומה של בקטע היא ולכן אנחנו מחפשים את .
מתקיים: .
כמו כן, .
נראה כי ולכן ולא צריך לדאוג לגבי הסימן המכנה.
נרצה לחשב כעת את