משתמש:אור שחף/עבודה ב"שימושי המתמטיקה ביומיום": הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
|||
| שורה 63: | שורה 63: | ||
=== חידות עם שאלות === | === חידות עם שאלות === | ||
''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. <math>\mathbf | ''שאלה'' היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה <math>X_i\leftrightarrow P</math> עבור פסוק לוגי <math>P</math> כרצוננו. למשל, את השאלה "האם <math>X_2</math> אביר?" שמופנת ל־<math>X_1</math> נייצג בתור <math>X_1\leftrightarrow X_2</math>. נסמן כ־<math>n</math> את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד <math>m</math> שאלות. נסמן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix}</math> כווקטור השאלות. ''תשובה'' תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix}</math> את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־<math>\mathbf q=\mathbf r</math>. <math>\mathbf x</math> מוגדר כמקודם. | ||
:'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>. | :'''דוגמה 4:''' יש 3 תושבים (<math>n=3</math>), מותר לשאול עד 2 שאלות (<math>m=2</math>) ו־<math>X_3</math> טוען ש־<math>X_1</math> ו/או <math>X_2</math> אבירים, דהיינו <math>X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1</math>. וקטור השאלות <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix}</math> מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־<math>\mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math> אזי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}</math>, ובאופן כללי <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix}</math>. | ||
נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה. | נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה. | ||
| שורה 77: | שורה 73: | ||
:'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון | :'''דוגמה 5.1:''' <math>n=4</math> ונתון | ||
{{left|<math>\begin{pmatrix}1&1& | {{left|<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}</math>}} | ||
:השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל | :השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל | ||
{{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1& | {{left|<math>\underbrace\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\end{pmatrix}_\mathbf A\mathbf x=\underbrace\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_\mathbf b</math>}} | ||
: | :לפיכך <math>k=2</math>. | ||
כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}} | כדי לפתור את החידה נבחר <math>\mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n}</math> כך ש־<math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}</math> מטריצה הפיכה, ואז <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> ו־<math>\mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix}</math>. נוכיח שהאורך של <math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> אינו עולה על <math>m</math>, כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון <math>\mathbf x</math> שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש <math>2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k}</math> פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות <math>\mathbf q'</math> כך שלכל וקטור תשובות <math>\mathbf r'</math> מתאים קיים פתרון <math>\mathbf x</math> יחיד המקיים <math>\mathbf q'=\mathbf r'</math>. לפיכך יש <math>2^{n-k}</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>. מאידך, ב־<math>\mathbf q'</math> יש <math>m</math> שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד <math>2^m</math> אפשרויות ל־<math>\mathbf r'</math>, דהיינו <math>2^{n-k}\le2^m</math> ולכן <math>n-k\le m</math>, כדרוש. {{משל}} | ||
עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו | עתה נותר להראות שקיימת <math>\mathbf Q</math> כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של <math>\mathbf A</math> בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של <math>\{0,1\}^{1\times n}</math> ממימד <math>k</math>. נבחר בסיס כלשהו ל[http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_complement תת־מרחב המשלים האורתוגונלי] לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה <math>\mathbf Q</math>. אזי <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. {{משל}} | ||
נניח ש־<math>m</math> המספר ''המינימלי'' של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־<math>n-k\le m</math> וכיוון ש־<math>\mathbf q=\mathbf Q\mathbf x</math> וקטור שאלות מאורך <math>n-k</math> הפותר את הבעיה נובע ש־<math>n-k\ge m</math>. כלומר, <math>m=n-k</math>. | |||
:'''דוגמה 5.2:''' עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בשאלה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־<math>m=n-k=4-2=2</math> שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־<math>\begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix}</math> הם לדוגמה <math>\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix}</math> ולכן <math>\mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix}</math> וקטור שאלות מתאים. <math>\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}</math> והפתרון הכללי הוא <math>\mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix}</math>. | |||
==== מערכת עובדות לא לינאריות ==== | ==== מערכת עובדות לא לינאריות ==== | ||
גרסה מ־21:21, 26 ביולי 2013
באי מסוים כל התושבים הם או אבירים, הדוברים תמיד אמת, או נוכלים, אשר תמיד משקרים. בחלק מהבעיות מוסיפים סוג נוסף – מרגלים, שעונים אמת או שקר באקראי. החידות דנות באורח באי המנסה להסיק מספר מסקנות – לרוב את הסוג של כמה מהתושבים – על סמך כמה עובדות (שמרביתן מהצורה "תושב [math]\displaystyle{ X }[/math] טען ש־[math]\displaystyle{ P }[/math]") ו/או על סמך שאלות כן/לא שעליו לשאול.
- דוגמה 1: האורח נתקל בתושבים [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]. אין מרגלים, וידוע ש־[math]\displaystyle{ A,C }[/math] מסוגים שונים. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ B,C }[/math] מאותו סוג, [math]\displaystyle{ B }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] אביר ו־[math]\displaystyle{ C }[/math] טוען שהוא מאותו סוג כמו [math]\displaystyle{ D }[/math]. מה הסוג של כל תושב?
- דוגמה 2: האורח נתקל בשלושה תושבים. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. אילו 3 שאלות של כן/לא הוא יכול לשאול על מנת לגלות את הסוג של כל אחד מהם, אם מותר לו להחליט למי להפנות כל שאלה על סמך התשובות לשאלות ששאל לפניה?
נרצה ליצור מודל מתמטי לפתרון בעיות מסוג זה.
חידות ללא מרגלים
| [math]\displaystyle{ P }[/math] | [math]\displaystyle{ Q }[/math] | [math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q }[/math] |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
באלגברה בוליאנית מסמנים [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כפסוק אמת ו־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כפסוק שקר. נעזר בסימון [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] לציון אופרטור שקילות לוגית, המוגדר כמפורט בטבלה שמשמאל. [math]\displaystyle{ = }[/math] הוא יחס שקילות בין כל שני פסוקים שקולים לוגית, כלומר אם ידוע ש־[math]\displaystyle{ P\leftrightarrow Q }[/math] נותן 1 אז נוכל לסמן [math]\displaystyle{ P=Q }[/math]. אם תושב [math]\displaystyle{ X }[/math] הוא אביר אז נסמן [math]\displaystyle{ X=1 }[/math] ואם נוכל – [math]\displaystyle{ X=0 }[/math]. לפיכך, אם [math]\displaystyle{ X }[/math] טוען טענה [math]\displaystyle{ P }[/math] אז [math]\displaystyle{ X=P }[/math].
- דוגמה 1.1: באמצעות סימונים אלו נציג את דוגמה 1 כמערכת משוואות בוליאניות. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ B,C }[/math] מאותו סוג, כלומר הוא טוען [math]\displaystyle{ B\leftrightarrow C }[/math]. מכך נובעת משוואה (1) במערכת המשוואות הבאה. מהטענות של [math]\displaystyle{ B,C }[/math] נובעות המשוואות (2) ו־(3), ומהעובדה ש־[math]\displaystyle{ A,C }[/math] שונים נובעת משוואה (4):
- באופן שקול:
- כאשר [math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math] מציין אופרטור XOR, המסומן גם כ־[math]\displaystyle{ \oplus }[/math].
בסימונים אלו נגדיר עובדה בתור משוואה בוליאנית שנתונה בחידה, כגון [math]\displaystyle{ A\leftrightarrow C=0 }[/math] מדוגמה 1.
חידות ללא שאלות
פתרון כמערכת משוואות
ברגע שיש לנו ניסוח מתמטי של החידה כמערכת משוואות אפשר לפתור אותה. אנו נתעמק בחידות שניתן לפתור כמערכת משוואות לינאריות כיוון שהן נותנות מידע רב יותר על החידה, כפי שנראה בהמשך.
ניצור איזומורפיזם מהשדה [math]\displaystyle{ (\mathbb Z_2,+,\cdot) }[/math] ל־[math]\displaystyle{ (\{0,1\},\nleftrightarrow,\and) }[/math] ע״י [math]\displaystyle{ x\mapsto\begin{cases}0,&x=[0]_2\\1,&x=[1]_2\end{cases} }[/math]. מכך נובע ש־[math]\displaystyle{ (\{0,1\},\nleftrightarrow,\and) }[/math] שדה. סכום [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^m P_i }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ \forall i:\ P_i\in\{0,1\} }[/math]) יוגדר בתור [math]\displaystyle{ P_1\nleftrightarrow\dots\nleftrightarrow P_m }[/math] ומכפלה [math]\displaystyle{ \prod_{i=1}^m P_i }[/math] בתור [math]\displaystyle{ P_1\and\dots\and P_m }[/math]. גם כפל מטריצות מוגדר בהתאם.
כעת, אם התושבים הם [math]\displaystyle{ X_1,\dots,X_n }[/math] אז נסמן [math]\displaystyle{ \mathbf x:=\begin{pmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{pmatrix} }[/math]. אם כל [math]\displaystyle{ P_i }[/math] מייצג נעלם [math]\displaystyle{ X_j }[/math] או קבוע [math]\displaystyle{ 1,0 }[/math] אז נוכל להציג כל [math]\displaystyle{ P_1\leftrightarrow\dots\leftrightarrow P_n=P_{n+1} }[/math] בתור סכום של נעלמים שונים השווה לקבוע: לדוגמה, [math]\displaystyle{ B\leftrightarrow A\leftrightarrow1=1 }[/math] מהניסוח המתמטי של דוגמה 1 שקול ל־[math]\displaystyle{ A\nleftrightarrow B=0 }[/math], כלומר ל־[math]\displaystyle{ \sum_{X_i\in\{A,B\}}X_i=0 }[/math]. לכן נוכל להגדיר מטריצת מקדמים [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] ווקטור מקדמים חופשיים [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \mathbf{Ax}=\mathbf b }[/math].
- דוגמה 1.2: ההצגה המטריציונית של דוגמה 1 היא
הצגה זו מאפשרת לנו למצוא מה הסוג של כל תושב ע״י פתרון מערכת משוואות לינאריות. יתרה מזאת, לפי משפט רושה–קפלי (Rouché–Capelli) יש פתרון ל־[math]\displaystyle{ \mathbf{Ax}=\mathbf b }[/math] אם״ם [math]\displaystyle{ \mathbf b\in\operatorname{span}\left\{\operatorname{Col}_i(\mathbf A)\right\}_{i=1}^n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \operatorname{Col}_i(\mathbf A) }[/math] העמודה ה־[math]\displaystyle{ i }[/math] של [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math], ואם כן אז מרחב הפתרונות הוא ממימד [math]\displaystyle{ n-\operatorname{rank}(\mathbf A) }[/math]. מכאן נובע שאנו יכולים לבדוק האם קיים פתרון לחידה, ואם כן לחשב את מספר הפתרונות בתור [math]\displaystyle{ 2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)} }[/math]. מובן שבד״כ יש רק פתרון אחד, כלומר [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] הפיכה.
- דוגמה 1.3: נפתור את דוגמה 1. חישוב פשוט מראה ש־[math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] הפיכה (ומכאן שיש פתרון יחיד) ו־[math]\displaystyle{ \mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \mathbf x=\mathbf A^{-1}\mathbf b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix} }[/math] – התושבים [math]\displaystyle{ A,B }[/math] נוכלים ו־[math]\displaystyle{ C,D }[/math] אבירים.
פתרון באמצעות ניחוש
מנחשים את סוגו של אחד מהתושבים ומציבים במשוואות. אם מגיעים לסתירה אז יש להחליף את הסוג שנבחר ולפתור מחדש, אחרת נקבל מערכת משוואות פשוטה יותר. אם המערכת הזו עוד לא נותנת פתרון יחיד יש להמשיך לנחש עד לפתרון הסופי. אם החלפנו ניחוש ושוב הגענו לסתירה אז אין פתרון.
- דוגמה 1.4: ננחש ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] מדוגמה 1 הוא אביר. מ־(2) נובע ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] אביר ומ־(4) ש־[math]\displaystyle{ C }[/math] נוכל, אך זה סותר את (1) ולכן [math]\displaystyle{ A }[/math] נוכל. הצבה מחדש נותנת ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] נוכל ו־[math]\displaystyle{ C,D }[/math] אבירים, וקיבלנו פתרון יחיד.
באופן כללי זו שיטה קלה יותר. אחד מהחסרונות שלה הוא שקשה למצוא באמצעותה את מספר הפתרונות, מה שעושים ע״י בדיקת היתכנות הסוג השני לכל תושב שניחשנו לו סוג.
- דוגמה 3: האורח נתקל בתושבים [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math], שאינם מרגלים. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] נוכל וגם [math]\displaystyle{ C }[/math] אביר, כלומר [math]\displaystyle{ A\leftrightarrow(\neg B\and C)=1 }[/math]. אם ננחש ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] אביר נקבל פתרון יחיד, אך אם ננחש שהוא נוכל נקבל ש־[math]\displaystyle{ \neg B\and C=0 }[/math]. במקרה הזה אפשר לנחש ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] נוכל (ולקבל פתרון יחיד) או אביר (ולקבל שני פתרונות). מספר הפתרונות הוא אם כן [math]\displaystyle{ \underbrace1_{A\text{ is a knight}}+\overbrace{\underbrace1_{B\text{ is a knave}}+\underbrace2_{B\text{ is a knight}}}^{A\text{ is a knave}}=4 }[/math]. המערכת אינה לינארית ולכן אינה פתירה באמצעות משפט רושה–קפלי.
חיסרון מהותי יותר הוא ששינוי של [math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math] דורש פתרון מחדש של הבעיה כולה. כמו כן, אנו נעזר בפתרון באמצעות מערכת משוואות לינאריות בחידות שבהן שואלים שאלות.
חידות עם שאלות
שאלה היא פסוק לוגי שאנחנו יכולים לבחור, תלוי בסוגים של תושבים והוא מהצורה [math]\displaystyle{ X_i\leftrightarrow P }[/math] עבור פסוק לוגי [math]\displaystyle{ P }[/math] כרצוננו. למשל, את השאלה "האם [math]\displaystyle{ X_2 }[/math] אביר?" שמופנת ל־[math]\displaystyle{ X_1 }[/math] נייצג בתור [math]\displaystyle{ X_1\leftrightarrow X_2 }[/math]. נסמן כ־[math]\displaystyle{ n }[/math] את מספר התושבים ונניח שמותר לשאול עד [math]\displaystyle{ m }[/math] שאלות. נסמן [math]\displaystyle{ \mathbf q=\begin{pmatrix}Q_1\\\vdots\\Q_m\end{pmatrix} }[/math] כווקטור השאלות. תשובה תוגדר כערך בוליאני השקול לוגית לשאלה ששאלנו, ונסמן ב־[math]\displaystyle{ \mathbf r=\begin{pmatrix}r_1\\\vdots\\r_m\end{pmatrix} }[/math] את וקטור התשובות. מההגדרות נובע ש־[math]\displaystyle{ \mathbf q=\mathbf r }[/math]. [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] מוגדר כמקודם.
- דוגמה 4: יש 3 תושבים ([math]\displaystyle{ n=3 }[/math]), מותר לשאול עד 2 שאלות ([math]\displaystyle{ m=2 }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ X_3 }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ X_1 }[/math] ו/או [math]\displaystyle{ X_2 }[/math] אבירים, דהיינו [math]\displaystyle{ X_3\leftrightarrow(X_1\or X_2)=1 }[/math]. וקטור השאלות [math]\displaystyle{ \mathbf q=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\leftrightarrow1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1\leftrightarrow X_2\\X_1\end{pmatrix} }[/math] מאפשר לפתור את החידה – אם נניח, למשל, ש־[math]\displaystyle{ \mathbf r=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} }[/math], ובאופן כללי [math]\displaystyle{ \mathbf x=\begin{pmatrix}r_2\\r_1\leftrightarrow r_2\\r_1\or r_2\end{pmatrix} }[/math].
נותר לפתח שיטה שתמצא וקטור שאלות הפותר כל חידה.
מערכת עובדות לינאריות
במקרה זה העובדות הנתונות בשאלה יוצרות מערכת משוואות לינאריות [math]\displaystyle{ \mathbf A\mathbf x=\mathbf b }[/math]. אם שורות המטריצה [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] תלויות לינארית ניתן למחוק כמה שורות ממנה (וגם את השורות המתאימות מ־[math]\displaystyle{ \mathbf b }[/math]) כך ששורותיה יהיו בת״ל ומרחב הפתרונות לא יישתנה. לכן נניח בה״כ ששורות [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] בת״ל ונסמן את מספר השורות ב־[math]\displaystyle{ k }[/math].
- דוגמה 5.1: [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] ונתון
- השורה השנייה במערכת זו מיותרת והשורה הרביעית היא סכום השורה הראשונה והשלישית. לכן נמחוק את שורות 2,4 ונקבל
- לפיכך [math]\displaystyle{ k=2 }[/math].
כדי לפתור את החידה נבחר [math]\displaystyle{ \mathbf Q\in\{0,1\}^{(n-k)\times n} }[/math] כך ש־[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix} }[/math] מטריצה הפיכה, ואז [math]\displaystyle{ \mathbf q=\mathbf Q\mathbf x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mathbf x=\begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}\mathbf b\\\mathbf r\end{pmatrix} }[/math]. נוכיח שהאורך של [math]\displaystyle{ \mathbf q=\mathbf Q\mathbf x }[/math] אינו עולה על [math]\displaystyle{ m }[/math], כלומר לא שאלנו יותר מדי שאלות: פתרון אפשרי יוגדר כפתרון [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] שמקיים את העובדות הנתונות. לפי משפט רושה–קפלי יש [math]\displaystyle{ 2^{n-\operatorname{rank}(\mathbf A)}=2^{n-k} }[/math] פתרונות אפשריים. החידה פתירה, כלומר קיים וקטור שאלות [math]\displaystyle{ \mathbf q' }[/math] כך שלכל וקטור תשובות [math]\displaystyle{ \mathbf r' }[/math] מתאים קיים פתרון [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math] יחיד המקיים [math]\displaystyle{ \mathbf q'=\mathbf r' }[/math]. לפיכך יש [math]\displaystyle{ 2^{n-k} }[/math] אפשרויות ל־[math]\displaystyle{ \mathbf r' }[/math]. מאידך, ב־[math]\displaystyle{ \mathbf q' }[/math] יש [math]\displaystyle{ m }[/math] שאלות ולכל אחת יש עד 2 תשובות אפשריות, לכן יש עד [math]\displaystyle{ 2^m }[/math] אפשרויות ל־[math]\displaystyle{ \mathbf r' }[/math], דהיינו [math]\displaystyle{ 2^{n-k}\le2^m }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ n-k\le m }[/math], כדרוש. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
עתה נותר להראות שקיימת [math]\displaystyle{ \mathbf Q }[/math] כנ״ל, אבל זה די טריוויאלי: השורות של [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] בת״ל ולכן הן בסיס לתת־מרחב של [math]\displaystyle{ \{0,1\}^{1\times n} }[/math] ממימד [math]\displaystyle{ k }[/math]. נבחר בסיס כלשהו לתת־מרחב המשלים האורתוגונלי לו ונציב את איבריו כשורות מטריצה [math]\displaystyle{ \mathbf Q }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}\in\{0,1\}^{(k+n-k)\times n}=\{0,1\}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית ששורותיה בת״ל, כלומר היא הפיכה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
נניח ש־[math]\displaystyle{ m }[/math] המספר המינימלי של שאלות שדרושות על מנת לפתור את החידה. בפסקה שלפני הקודמת הוכחנו ש־[math]\displaystyle{ n-k\le m }[/math] וכיוון ש־[math]\displaystyle{ \mathbf q=\mathbf Q\mathbf x }[/math] וקטור שאלות מאורך [math]\displaystyle{ n-k }[/math] הפותר את הבעיה נובע ש־[math]\displaystyle{ n-k\ge m }[/math]. כלומר, [math]\displaystyle{ m=n-k }[/math].
- דוגמה 5.2: עלינו למצוא את הסוגים של כל התושבים בשאלה 5 במינימום שאלות, כלומר ב־[math]\displaystyle{ m=n-k=4-2=2 }[/math] שאלות. שני וקטורי שורה שאינם תלויים לינארית ב־[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&1&1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&1&0&0\end{pmatrix} }[/math] הם לדוגמה [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0&1&0\end{pmatrix} }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \mathbf q=\begin{pmatrix}X_4\\X_1\nleftrightarrow X_3\end{pmatrix} }[/math] וקטור שאלות מתאים. [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\mathbf A\\\mathbf Q\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix} }[/math] והפתרון הכללי הוא [math]\displaystyle{ \mathbf x=\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\\mathbf r\!\!\!\!\!\begin{matrix}&\\&\end{matrix}\end{pmatrix} }[/math].
מערכת עובדות לא לינאריות
חידות עם מרגלים
| אופרטור | ערך |
|---|---|
| [math]\displaystyle{ \neg X }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\and Y }[/math] | [math]\displaystyle{ XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\uparrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\or Y }[/math] | [math]\displaystyle{ X+Y-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\downarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X-Y+XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\rightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X+XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\nrightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ X-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\leftarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-Y+XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\nleftarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ Y-XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\leftrightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-X-Y+2XY }[/math] |
| [math]\displaystyle{ X\nleftrightarrow Y }[/math] | [math]\displaystyle{ X+Y-2XY }[/math] |
במקרה הזה נצטרך להכליל כמה הגדרות ולהגדיר כמה דברים חדשים. נרחיב את יחס השקילות [math]\displaystyle{ = }[/math] לתאר שיוויון של מספרים ממשיים בין 0 ל־1. אם תושב [math]\displaystyle{ X }[/math] מרגל נסמן [math]\displaystyle{ X=p }[/math] עבור קבוע [math]\displaystyle{ p\in(0,1) }[/math] כלשהו. האופרטורים [math]\displaystyle{ \neg,\and,\leftrightarrow,\dots }[/math] מוגדרים מחדש כמפורט בטבלה משמאל. לפי ההגדרות החדשות [math]\displaystyle{ X\and Y }[/math], למשל, הוא ההסברות שהתושבים [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] ידברו אמת בהנחה שהתושב [math]\displaystyle{ X }[/math] דובר אמת בהסברות [math]\displaystyle{ X }[/math] והתושב [math]\displaystyle{ Y }[/math] – בהסתברות [math]\displaystyle{ Y }[/math]. הגדרות אלה מכלילות את ההגדרות מאלגברה בוליאנית, אך יש כמה כללים שהאופרטורים כבר לא מקיימים. כללי דה־מורגן, למשל, נשמרים, בעוד שלא תמיד מתקיים [math]\displaystyle{ X\leftrightarrow Y=(X\rightarrow Y)\and(X\leftarrow Y) }[/math]. לבסוף, נגדיר אופרטור [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] ע״י [math]\displaystyle{ X\Leftrightarrow Y=\begin{cases}1,&X=Y\\0,&\text{else}\end{cases} }[/math] (בפרט, אם [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] תושבים אז [math]\displaystyle{ X\Leftrightarrow Y }[/math] הוא הערך הבוליאני שמציין אם הם מאותו סוג. אם [math]\displaystyle{ X,Y }[/math] אינם מרגלים אז [math]\displaystyle{ X\Leftrightarrow Y=X\leftrightarrow Y }[/math]).
- דוגמה 6: האורח נתקל בתושבים [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]. אחד מהם אביר, אחד נוכל ואחד מרגל. [math]\displaystyle{ A }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ C }[/math] נוכל, ו־[math]\displaystyle{ B }[/math] טוען ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] שיקר הרגע. לכן מתקיים:
- נעיר שמשוואה (1) לא רק נגררת מהעובדה שיש אביר, נוכל ומרגל, אלא שקולה לה. הוכחה: אגף ימין שלה אינו 0 או 1 ולכן לפחות אחד מ־[math]\displaystyle{ A,B,C }[/math] מרגל. נניח בלי הגבלת הכלליות ש־[math]\displaystyle{ A }[/math] מרגל ולכן [math]\displaystyle{ p\leftrightarrow B\leftrightarrow C=1-p-(B\leftrightarrow C)+2p(B\leftrightarrow C)=1-p }[/math], ומכך נקבל [math]\displaystyle{ (B\leftrightarrow C)(1-2p)=0 }[/math]. זה צריך להתקיים לכל [math]\displaystyle{ p\in(0,1) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ B\leftrightarrow C=0 }[/math]. ההסתברות ש־[math]\displaystyle{ B }[/math] אמר אמת אם״ם [math]\displaystyle{ C }[/math] אמר אמת תהא תמיד קטנה מ־1 אם לפחות אחד מהם מרגל. אם [math]\displaystyle{ B=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ C=1 }[/math] ואם [math]\displaystyle{ B=1 }[/math] אז [math]\displaystyle{ C=0 }[/math], כלומר אכן יש אביר אחד, נוכל אחד ומרגל אחד.
חידות ללא שאלות
פתרון כמערכת משוואות
פתרון באמצעות ניחוש
פותרים כמו באותו אופן כמו במקרה שאין מרגלים, רק שבמקום לבדוק עד 2 סוגים בודקים עד 3.