משתמש:איתמר שטיין

לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.

לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של אגודות. (ההוכחה בנפנופי ידיים)

שאלה 3

סעיף א

הוכחה: יהי [math]\displaystyle{ \alpha_1 (v_1+v_2) + \alpha_2(v_2+v_3) +\alpha_3 (v_1+v_3) = 0 }[/math] צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.

צריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0 }[/math].

קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל

[math]\displaystyle{ (\alpha_1+\alpha_3) v_1 +(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0 }[/math]

היות ו [math]\displaystyle{ v_1,v_2,v_3 }[/math] בת"ל. נקבל ש

[math]\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3=0 }[/math]

זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.

קל להסיק ממנה ש

[math]\displaystyle{ \alpha_1=-\alpha_2,\quad \alpha_1=-\alpha_3 }[/math]

אבל בגלל ש [math]\displaystyle{ \alpha_2+\alpha_3=0 }[/math]

נקבל ש [math]\displaystyle{ -2\alpha_1=0 }[/math]

בגלל שהמאפיין שונה מ [math]\displaystyle{ 2 }[/math] אפשר לחלק ב [math]\displaystyle{ 2 }[/math] ולקבל

[math]\displaystyle{ -\alpha_1=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ \alpha_1=0 }[/math]

ומכאן ברור גם [math]\displaystyle{ \alpha_2=\alpha_3=0 }[/math].