שיחה:88-211 אלגברה מופשטת קיץ תשעג

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

פתרונות לשיעורים

אם אין חובת הגשה, יהיה אפשר פשוט להעלות את הפתרונות יחד עם התרגילים ? שנוכל לראות אם צדקנו בפתרונות שלנו ולראות את הדרך לפתור דברים שלא הצלחנו ? תודה רבה !

• כתיבת פתרונות היא עניין טכני מבחינתנו. נעלה את הפתרונות ברגע שיהיו מוכנים :) --לואי 16:20, 15 ביולי 2013 (IDT)

מערכי תרגול

אתם יכולים לעלות את מערכי התרגולים לדף של הקורס? תודה

• אנחנו לא נעלה את מערכי התרגול. אך יש סטודנטים שמקלידים (ויש גם סטודנטים עם כתב יפה מאוד) ונשמח אם אחד מהם יעלה את הסיכומים שלו לאתר. --לואי 16:53, 16 ביולי 2013 (IDT)

אסוציאטיביות ההפרש הסימטרי

האם באופן כללי (תרגיל בית / בוחן / מבחן), יש להוכיח את אסוציאטיביות ההפרש הסימטרי כשנתקלים במצב שבו נצטרך להשתמש בו?

• לא, אין צורך. אפשר להסתמך על כל הטענות שהוכחתם בקורסים קודמים. --לואי 16:50, 16 ביולי 2013 (IDT)

תודה רבה!

הוכחה שמשהו הוא אגודה, מונויד, חבורה

כשדורשים מאיתנו להוכיח שקבוצה עם פעולה מסוימת היא אגודה/מונואיד/חבורה, האם צריך להוכיח שהפעולה היא פעולה בינארית? כלומר, צריך להוכיח שיש סגירות?

• בהחלט! ללא הסגירות לא ניתן לדבר על הקבוצה (עם הפעולה) כעל מבנה אלגברי. --לואי 16:51, 16 ביולי 2013 (IDT)

תודה רבה!

תרגיל 1 שאלה 1

בתרגיל מבקשים לבדוק אם המספרים הממשיים הם אגודה עבור פעולה בינארית נתונה, אבל בסעיף ב' הפעולה בכלל לא בינארית.

בשאלה הקודמת ענו לי כששאלתי אם צריך להוכיח שהפעולה היא בינארית "בהחלט! ללא הסגירות לא ניתן לדבר על הקבוצה (עם הפעולה) כעל מבנה אלגברי.(לואי פולב)". הראת שהפעולה לא בינארית, אז כמובן שלקבוצה עם הפעולה אי אפשר לקרוא מבנה אלגברי ובפרט לא יכול להיות אגודה. --Ofekgillon10 07:31, 17 ביולי 2013 (IDT)

מבנה המבחן

שמעתי שהמבחן יורכב משאלות המופיעות בתרגיל הבית (עם שינויים קלים). זה נכון?

כמו כן, איך יחושב הציון הסופי?

• המבחן יכלול שאלה (או שאלות) משיעורי הבית (או התרגולים) ולא יהיה מורכב מהנ"ל. כמובן שיופיעו בבחינה גם שאלות חדשות. לגבי החישוב של הציון הסופי - נפרסם את זה בהודעות באתר. --לואי 22:41, 19 ביולי 2013 (IDT)

שאלה 7ב'

מה המשמעות של החיבור בין החבורות?

הכוונה היא שזה סכום איבר איבר. החבורה המתקבלת מורכבת מכל הסכומים האפשריים של איברי שתי החבורות.--Haunttime 17:02, 18 ביולי 2013 (IDT)

שאלה 3ב בתרגיל 1

כשכתוב בשאלה 3ב בתרגיל 1 להוכיח ש [math]\displaystyle{ \Omega_2 \times \Omega_2 }[/math] לא ציקלית, איזה קבוצה היא [math]\displaystyle{ \Omega_2 }[/math]?

• באופן כללי: [math]\displaystyle{ \Omega_n = \{z\in \mathbb C : z^n=1\} }[/math]. --לואי 22:43, 19 ביולי 2013 (IDT)

ועוד שאלה, ביחס לאיזו פעולה צריך להוכיח שהחבורה לא ציקלית ?

• (לא מתרגל) החבורה שמתאורת למעלה מוגדרת עבור כפל של מרוכבים ולכן הפעולה היא כפל. אפשר לראות שעבור חיבור בכלל אין סגירות, כי לדוגמא עבור n=2 הרי שסכום שני האיברים הוא 0 והוא לא בקבוצה.

פתרונות לשיעורים

יהיה אפשר להעלות את הפתרונות לתרגילים 2 ו3 לפני הבוחן שנוכל להתכונן ? תודה רבה ! <<

החבורה הדיהרלית האינסופית

האם ניתן להגדיר את החבורה הדיהרלית [math]\displaystyle{ D_{\infty}=\{id,\sigma,\sigma^2...,\tau\sigma,\tau\sigma^2...\} }[/math]? אם כן: א. מה הסדר שלה ([math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math])? ב. מה המשמעות שלה מבחינה גיאומטרית? (אמרנו בתרגול ש[math]\displaystyle{ \tau,\sigma }[/math] הם שיקוף וסיבוב אבל איך ניתן לסובב ב[math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{\infty} }[/math] רדיאנים?)

אכן ניתן להגדיר את החבורה הדיהדרלית האינסופית. לבינתיים הנה שני קישורים לערכים קצרים עליה: ויקיפדיה, Groupprops. יש לשים לב שעדין לא הגדרנו את כל המונחים שמופיעים בקישורים. בנוסף, אפשר למשל לבנות חבורה דיהדרלית מוכללת לכל חבורה אבלית. המקרה של החבורות [math]\displaystyle{ D_n }[/math] שהוגדרו בשיעור הן החבורות הדיהדרליות המוכללות עבור החבורות הציקליות, והחבורה הדיהדרלית האינסופית היא החבורה הדיהדרלית המוכללת של השלמים. Mathzeta2 13:28, 2 באוגוסט 2013 (IDT)

חוג קומוטטיבי

חוג קומוטטיבי הוא קומוטטיבי ביחס לחיבור, לכפל או לשניהם?

• (לא מתרגל) באופן כללי, חוג הוא מעצם הגדרתו קומוטטיבי ביחס לשתי הפעולות.

(לא מתרגל / מרצה) דווקא, למיטב הבנתי, חוג הינו קומוטטיבי ביחס לפעולת החיבור בלבד (לפי ההגדרה). לכן, חוג קומוטטיבי הוא קומוטטיבי ביחס לשתי הפעולות. --גיא בלשר 16:24, 2 באוגוסט 2013 (IDT)

(שאלתי את השאלה) גיא צודק, מצאתי עכשיו את ההגדרה ורשום שחוג הוא חבורה אבלית ביחס לחיבור, מונואיד ביחס לכפל ויש דיסטריביוטיביות. אז אם אומרים על חוג שהוא קומוטטיבי מתכוונים לכפל ולכן החוג קומוטטיבי ביחס לשני הפעולות.

קבוצה יוצרת

נגיד ו- [math]\displaystyle{ A=\left\{a,b\right\} }[/math] אז השאלה שלי היא האם [math]\displaystyle{ aba\in \lt A\gt }[/math]. פשוט הגדרנו את זה להיות [math]\displaystyle{ \lt A\gt =\left\{a^{k_1}b^{k_2}|k_1,k_2\in \mathbb{Z}\right\} }[/math]. תודה רבה, --Ofekgillon10 17:12, 3 באוגוסט 2013 (IDT)

החלק של "פשוט הגדרנו..." הוא מסקנה עבור חבורות אבליות, או יותר בכלליות כשהאיברים בקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] מתחלפים. בנוגע לשאלה עצמה, מתקיים כי [math]\displaystyle{ aba\in \lt A\gt }[/math] באופן כללי. אם האיברים [math]\displaystyle{ a,b }[/math] מתחלפים אז ברור כי [math]\displaystyle{ aba=a^2b }[/math]. --Mathzeta2 15:59, 4 באוגוסט 2013 (IDT)

רק לוודא, אתה אומר שההגדרה של [math]\displaystyle{ \lt A\gt }[/math] זה כל הצירופים האפשריים לאיברי הקבוצה כולל חזקות שליליות?

כן. בסימון [math]\displaystyle{ \lt A\gt }[/math] אכן מתכוונים לכל המילים (מאורך סופי) שנבנות מרצף של איברים וההופכיים של איברים מהקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math]. להסבר ארוך אפשר להסתכל ב-מילה בויקיפדיה וב-מילה ב-Groupprops.

בעיקר דיברנו על הסימון הזה בהקשר של קבוצה יוצרת של חבורה: ויקיפדיה, Groupprops. --Mathzeta2 21:22, 4 באוגוסט 2013 (IDT)

הבוחן

איזה חומר צריך לדעת לבוחן?

חבורה ציקלית מסדר 8

באחד מהתרגילים היה צריך למצוא את כל תתי החבורות מסדר 8 של [math]\displaystyle{ U_{32} }[/math]. היה כתוב שם [math]\displaystyle{ 3 }[/math] אבל לא היה כתוב הסבר או דרך איך מגיעים לזה. מה הדרך? מה אמורים לכתוב אם מחר שואלים אותנו את זה?

תרגיל 4 שאלה 1

האיבר הנתון בשאלה 1 הוא לא תמורה...

העלנו עדכון לתרגיל. עכשיו התמורה שולחת את 6 ל-1. תודה --Mathzeta2 18:19, 7 באוגוסט 2013 (IDT)

הרצאת השלמה לקבוצה של מגרל בלבד

כמה שעות תהיה ההרצאה? ובמקום איזה הרצאה זאת?

(לא מתרגל / מרצה) לדברי פרופ' מגרל, זו הרצאת השלמה הבאה בנוסף לכל ההרצאות. מטרת ההרצאה היא שנספיק את כל החומר הנדרש, והוא אמר שבכל שנה הוא מקיים הרצאה כזו. כמו כן, ההרצאה תארך כשעתיים. --גיא בלשר 21:05, 7 באוגוסט 2013 (IDT)

שאלה כללית על איזומורפיזמים

אם שתי חבורות משוכנות אחת בתוך השנייה האם זה אומר שהם איזומורפיות?

(לא מתרגל) לא, אפשר להפריך זאת עם דוגמא של חבורה חופשית.

נכון, אפשר להפריך עם חבורות חופשיות (אפילו שעדין לא הגדרנו אותן). ראו קובץ הערות מסמסטר קיץ תשע"א: הערות. נסה לחשוב על דוגמה עם חבורות שכבר ראינו. שים לב שודאי שמדובר בחבורות אינסופיות. רמז: איחוד שרשרת של חבורות שכבר ראינו.

מבנה המבחן

כבר ידוע מבנה המבחן (כמה שאלות, מקסימום נקודות אפשרי, האם תהיה שאלה של הוכחת משפט שלמדנו..)?

• (לא מתרגל) נאמר בהרצאה שיהיה צריך לבחור ארבע שאלות מתוך חמש, הניקוד במבחן הוא עד 100 ושיהיו מספר משפטים להוכיח (ז"א תהיינה שאלות בהן יהיה סעיף של הוכחת משפט). רוני אמר שלערך 75% מהמבחן מתבסס על התרגולים ותרגילי הבית.

התחלפות בחבורה לא קומוטטיבית

אם לשני איברים בחבורה מתקיים [math]\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{Z}: (ab)^n=a^nb^n }[/math], האם הם בהכרח מתחלפים?

(לא מרצה / מתרגל) כן. נסתכל על המקרה [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]. נקבל [math]\displaystyle{ abab=\left(ab\right)^2=a^2 b^2=aabb }[/math]. נכפול בהופכי של [math]\displaystyle{ a }[/math] משמאל: [math]\displaystyle{ a^{-1}\left(abab\right)=a^{-1}\left (aabb\right) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \left(a^{-1}a\right)\left(bab\right)=\left(a^{-1}a\right)\left (abb\right) }[/math], [math]\displaystyle{ e\left(bab\right)=e\left (abb\right) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ bab=abb }[/math]. באופן דומה, נכפול בְּ־[math]\displaystyle{ b^{-1} }[/math] מצד ימין, ונקבל (לאחר תהליך דומה) [math]\displaystyle{ ba=ab }[/math], כדרוש. --גיא בלשר 12:15, 25 באוגוסט 2013 (IDT)

משפט קושי

בהרצאה אמרו לנו שהחבורה צריכה להיות אבלית, אבל בתרגול אמרו לנו שהיא לא חייבת להיות אבלית בשביל שהמשפט יעבוד..

במשפט באמת לא חובה שהחבורה תהיה אבלית?

• (לא מתרגל) טענת קושי אומרת כי לכל חבורה אבלית עם מספר ראשוני p המחלק את סדר החבורה, קיים איבר מסדר p.

לאחר הוכחת משפט סילו 1, ישנן 2 מסקנות. הראשונה - לכל חבורה G, ולכל p ראשוני וk טבעי כך שp^k מחלק את סדר החבורה, קיימת תת חבורה מסדר p^k.

המסקנה השנייה היא משפט קושי - לכל חבורה G ולכל p ראשוני המחלק את סדר החבורה קיים איבר מסדר p, וזה נובע מהתוצאה הראשונה - אם ניקח k=1 נקבל כי קיימת תת חבורה מסדר p, אבל היא בהכרח ציקלית ולכן יש איבר מסדר p שיוצר אותה, והוא בחבורה.

העברת יוצר

אנחנו יודעים שבאיזומורפיזם יוצר עובר ליוצר (בהנחה שהחבורות ציקליות). האם זה נכון גם עבור אפימורפיזם או מונומורפיזם ?

• לגבי מונומורפיזם: מונומורפיזם הוא למעשה איזומורפיזם על התמונה. לכן יוצר יעבור ליוצר (של התמונה, שהיא תת חבורה של הטווח).
• לגבי אפימורפיזם: שוב, אני מניחה שבשאלה שלך שתי החבורות הן ציקליות, אז התשובה היא כן. נסו להראות זאת ישירות. --לואי 11:20, 28 באוגוסט 2013 (IDT)

פעולה של חבורה מעל קבוצה

מישהו יכול לתת לי הסבר טוב מה זו פעולה הומוגנית (טרנזטיבית) ?