תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג

הערות:

• לכל שתי פונקציות פיזיקליות [math]\displaystyle{ f,g }[/math] של הזמן נסמן [math]\displaystyle{ f_g:=f\circ g^{-1} }[/math]. למשל, [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r(\vec r(t))=\vec v(t) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \vec v_\vec r }[/math] היא פונקציה של המהירות לפי המיקום.
• לפעמים נסמן [math]\displaystyle{ f }[/math] במקום [math]\displaystyle{ f(t) }[/math].
• לכל וקטור [math]\displaystyle{ \vec u }[/math] נסמן כ־[math]\displaystyle{ u=|\vec u| }[/math] את גודלו וכ־[math]\displaystyle{ \hat u=\sgn(\vec u) }[/math] את כיוונו.
• נזכיר שלכל פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ f[A]:=\mbox{Im}(f|_A)=\{f(x):\ x\in A\} }[/math].

הקדמה

יחידות

• זמן – שנייה: [math]\displaystyle{ \mathrm s }[/math]
• מרחק – מטר: [math]\displaystyle{ \mathrm m }[/math]
• מסה – קילוגרם: [math]\displaystyle{ \mathrm{kg} }[/math]
• כוח – ניוטון: [math]\displaystyle{ \mathrm{N=\frac{kg\cdot m}{s^2}} }[/math]
• אנרגיה – ג׳אול: [math]\displaystyle{ \mathrm{J=\frac{kg\cdot m^2}{s^2}=N\cdot m} }[/math]
• תדירות – הרץ: [math]\displaystyle{ \mathrm{Hz=s^{-1}} }[/math]

קבועים

• גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א: [math]\displaystyle{ g\approx9.8\mathrm\frac ms }[/math]
• קבוע הגרביטציה האוניברסלי: [math]\displaystyle{ G\approx6.67\cdot10^{-11}\mathrm\frac{m^3}{kg\cdot s^2} }[/math]

תזכורות ונוסחאות

• מכפלה וקטורית: [math]\displaystyle{ \vec u\times\vec v:=\begin{pmatrix}u_yv_z-u_zv_y\\u_zv_x-u_xv_z\\u_xv_y-u_yv_x\end{pmatrix}\simeq\begin{vmatrix}\hat\mathbf x&\hat\mathbf y&\hat\mathbf z\\u_x&u_y&u_z\\v_x&v_y&v_z\end{vmatrix} }[/math]
• דל: [math]\displaystyle{ \nabla:=\begin{pmatrix}\partial/\partial x\\\partial/\partial y\\\partial/\partial z\end{pmatrix} }[/math]. הגרדיאנט הוא [math]\displaystyle{ \nabla f }[/math], הדיברגנץ הוא [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\vec F }[/math], הרוטור/קרל – [math]\displaystyle{ \nabla\times\vec F }[/math], והלפלסיאן – [math]\displaystyle{ \Delta f:=\nabla^2f:=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }[/math].

קואורדינטות

• עבור [math]\displaystyle{ x,y,z\in(-\infty,\infty)\ \and\ r,\rho\in[0,\infty)\ \and\ \theta\in(-\pi,\pi]\ \and\ \varphi\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
  

  מ־← ל־↓	קרטזיות	גליליות	כדוריות
  קרטזיות		[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=\rho\cos(\theta)\\y=\rho\sin(\theta)\\z=z\end{array} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta)\\y=r\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math]
  גליליות	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\z=z\end{array} }[/math]		[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \rho=r\sin(\varphi)\\\theta=\theta\\z=r\cos(\varphi)\end{array} }[/math]
  כדוריות	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta=\mbox{atan2}(y,x)\\\varphi=\arccos(z/r)\end{array} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} r=\sqrt{\rho^2+z^2}\\\theta=\theta\\\varphi=\arctan(\rho/z)\end{array} }[/math]

  כאשר [math]\displaystyle{ \mbox{Im}(\arctan)=\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \mbox{atan2}(y,x):=\begin{cases}\arctan(y/x)&x\gt 0\\\arctan(y/x)+\sgn(y)\pi&x\lt 0\\\sgn(y)\frac\pi2&x=0\ \and\ y\ne0\\\text{undefined}&x=y=0\end{cases} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz=r^2\sin(\varphi)\,\mathrm dr\,\mathrm d\varphi\,\mathrm d\theta }[/math].

קינמטיקה

• [math]\displaystyle{ \vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v }[/math].
• התדירות הזוויתית: [math]\displaystyle{ \omega:=\dot\theta }[/math].
• התנע: [math]\displaystyle{ \vec p:=m\vec v }[/math].
• תנועה במהירות קבועה: [math]\displaystyle{ \vec v(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec r=\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
• תנועה בתאוצה קבועה: [math]\displaystyle{ \vec a(t)\equiv\text{const.} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \vec v=\vec a(0)t+\vec v(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v(0)t+\vec r(0) }[/math].
• תנועה בגודל מהירות קבוע: [math]\displaystyle{ |\vec v|\equiv\text{const.} }[/math]. זה קורה אם״ם [math]\displaystyle{ \vec a\perp\vec v }[/math].
• תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] שרדיוסו [math]\displaystyle{ R }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \vec r=R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], [math]\displaystyle{ \vec v=\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix} }[/math], ו־[math]\displaystyle{ \vec a=\vec a_R+\vec a_T }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec a_R=-\omega^2 R\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix}=-\omega^2\vec r }[/math] נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\dot\omega R\begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\\cos(\theta)\\0\end{pmatrix}=\frac\dot\omega\omega\vec v }[/math] נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן [math]\displaystyle{ \vec\omega:=\omega\hat\mathbf z }[/math] נקבל [math]\displaystyle{ \vec v=\vec\omega\times\vec r }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_R=\vec\omega\times\vec v\ \and\ \vec a_T=\dot\vec\omega\times\vec r }[/math].

• תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־[math]\displaystyle{ \omega(t)\equiv\text{const.} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ \theta=\omega t+\theta(0) }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \vec a_T=\vec0\ \and\ a_R=\frac{v^2}R }[/math]. התאוצה נקראת צנטריפטלית.

• התדירות מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ f:=\frac\omega{2\pi} }[/math].
• זמן המחזור מוגדר כ־[math]\displaystyle{ T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega }[/math].

מכניקה ניוטונית

חוקי התנועה של ניוטון

1. גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: [math]\displaystyle{ \vec v\equiv\text{const.} }[/math].
2. הכוח שפועל על גוף נתון הוא [math]\displaystyle{ \vec F=\dot\vec p }[/math].
3. אם גוף 1 מפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{21} }[/math] על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\vec F_{21} }[/math] על גוף 1.

אנרגיה

• האנרגיה הקינטית של גוף היא [math]\displaystyle{ E_k:=\frac{m v^2}2 }[/math].
• העבודה שמבצע כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] בין הזמנים [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] עד [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] היא [math]\displaystyle{ W:=\int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t)\cdot\vec v(t)\mathrm dt }[/math].
• [math]\displaystyle{ W=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1) }[/math].
• כוח משמר: כוח [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] המוגדר בתחום פשוט־קשר ומקיים את התנאים השקולים הבאים לכל [math]\displaystyle{ t_1,t_2 }[/math]:
  1. האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] אינו תלוי במסלול אלא רק בנקודות ההתחלה והסיום [math]\displaystyle{ \vec r(t_1),\vec r(t_2) }[/math].
  2. לכל מסלול סגור מתקיים [math]\displaystyle{ \oint_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=0 }[/math].
  3. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \int_{\vec r[[t_1,t_2]]}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r=U(t_1)-U(t_2) }[/math] לכל מסלול שעובר דרך נקודות ההתחלה והסיום.
  4. קיימת פונקציה [math]\displaystyle{ U_\vec r }[/math] בתחום כך ש־[math]\displaystyle{ \vec F_\vec r(\vec r)=-\nabla U_\vec r(\vec r) }[/math].
  5. מתקיים [math]\displaystyle{ \forall\vec r:\ \nabla\times\vec F_\vec r(\vec r)=\vec 0 }[/math].
• אנרגיה פוטנציאלית/פוטנציאל של גוף עליו פועל כוח משמר [math]\displaystyle{ \vec F }[/math] היא [math]\displaystyle{ U(t):=-\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)}\vec F_\vec r(\vec r)\mathrm d\vec r }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec r_0 }[/math] היא נקודת הייחוס.
• אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ U(t_1)-U(t_2)=\Delta E_k=E_k(t_2)-E_k(t_1) }[/math].
• אנרגיה כללית של גוף עליו פועל כוח משמר היא [math]\displaystyle{ E:=E_k+U }[/math].
• חוק שימור האנרגיה: אם על גוף פועל כוח משמר אז [math]\displaystyle{ E\equiv\text{const.} }[/math], כלומר האנרגיה הכללית קבועה.
• פוטנציאל אפקטיבי: האנרגיה הכללית של גוף הנע במישור [math]\displaystyle{ xy }[/math] היא [math]\displaystyle{ E=\frac{m\left(\dot\rho^2+\rho^2\omega^2\right)}2+U }[/math]. גודל התנע הזוויתי הוא [math]\displaystyle{ L=m\rho^2\omega }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ E=\frac{m\dot\rho^2}2+U_\text{eff} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ U_\text{eff}:=\frac{L^2}{2m\rho^2}+U }[/math] הוא הפוטנציאל האפקטיבי. הוא מאפשר להתייחס לבעיה של תנועת הגוף בכיוון הרדיאלי בלבד כבעיה חד־ממדית אשר הפוטנציאל בה הוא הפוטנציאל האפקטיבי.

מערכות גופים

תהא מערכת ובה הגופים [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n }[/math]. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף [math]\displaystyle{ i }[/math] כ־[math]\displaystyle{ \vec F_{ie} }[/math].

• המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־[math]\displaystyle{ M:=\sum_{i=1}^n m_i }[/math].
• מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M }[/math].
• התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i }[/math]. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־[math]\displaystyle{ M\dot\vec R }[/math].
• לפי החוק השלישי של ניוטון [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie} }[/math].
• חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא [math]\displaystyle{ \vec 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \dot\vec p=\vec 0 }[/math], כלומר התנע הכולל קבוע.

• אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).

• חוק שימור האנרגיה: אם שקול הכוחות של המערכת הוא כוח משמר אז [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\Big(E_{ki}+U_i\Big)\equiv\text{const.} }[/math].

תנע זוויתי

• התנע הזוויתי של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec L:=\vec r\times\vec p }[/math].
• הטורק/מומנט הפיתול של גוף מוגדר כ־[math]\displaystyle{ \vec\tau:=\vec r\times\vec F=\dot\vec L }[/math].
• חוק שימור התנע הזוויתי: אם שקול הכוחות פועל במקביל ל־[math]\displaystyle{ \vec r }[/math] אז [math]\displaystyle{ \vec L\equiv\text{const.} }[/math].

מכניקה אנליטית

פונקציונלים

• פונקציונל: פונקציה [math]\displaystyle{ S }[/math] ממרחב פונקציות מסוים לקבוצת סקלרים. בקורס זה נעסוק רק בפונקציונלים מהצורה [math]\displaystyle{ S(q)=\int_{t_1}^{t_2}\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q,t\right)\mathrm dt }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] היא הלגראנז׳יאן של הבעיה.
• מינימיזציה: נרצה למצוא את הפונקציה [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] שעבורה [math]\displaystyle{ \vec q(t_1)=\vec a\ \and\ \vec q(t_2)=\vec b }[/math] ו־[math]\displaystyle{ S(\vec q) }[/math] מקבל ערך קיצון מקומי, כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] דיפרנציאבילית ו־[math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] גזירה חלקית ברציפות. אזי תנאי הכרחי שעליה לקיים הוא שלכל [math]\displaystyle{ i }[/math] מתקיימת משוואת אוילר–לגראנז׳: [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0 }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ \vec p=\vec p(\vec q) }[/math] התמרת קואורדינטות מ־[math]\displaystyle{ \vec q }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \vec p }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \vec q_0 }[/math] מקיימת את משוואת אוילר–לגראנז׳ [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot q_i}=0 }[/math] אזי גם [math]\displaystyle{ \vec p_0:=\vec p(\vec q_0) }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal L}{\partial p_i}-\frac\mathrm d{\mathrm dt}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot p_i}=0 }[/math].
• פעולה: הפונקציונל [math]\displaystyle{ S(\vec r):=\int_{t_1}^{t_2}\left({E_k}_\vec v\!\left(\dot\vec r\right)-U_\vec r(\vec r)\right)\mathrm dt }[/math]. הלגראנז׳יאן נקרא הלגראנז׳יאן הפיזיקלי של המערכת.
• עקרון המילטון/הפעולה המינימלית: הלגראנז׳יאן הפיזיקלי מקיים את משוואת אוילר–לגראנז׳ לכל [math]\displaystyle{ \vec r }[/math].
• תנע מוכלל: הווקטור שרכיביו [math]\displaystyle{ p_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial\dot q_i} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] וקטור קואורדינטות.
• כוח מוכלל: הווקטור שרכיביו [math]\displaystyle{ F_i:=\frac{\partial(E_k-U)}{\partial q_i} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec q }[/math] וקטור קואורדינטות.
• ממשוואת אוילר–לגראנז׳ נובע ש־[math]\displaystyle{ F_i=\dot p_i }[/math].
• קואורדינטה ציקלית: קואורדינטה [math]\displaystyle{ q_i }[/math] שאינה מופיעה מפורשות בלגראנז׳יאן הפיזיקלי (אלא רק הנגזרת שלה). היא מקיימת [math]\displaystyle{ F_i\equiv 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ p_i\equiv\text{const.} }[/math].

מכניקה המילטונית

• התמרת לז׳נדר: תהי פונקציה קמורה או קעורה של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ s(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x} }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ s }[/math] מונוטונית ובפרט קיימת לה פונקציה הופכית [math]\displaystyle{ x(s) }[/math]. התמרת לז׳נדר של [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדר כ־[math]\displaystyle{ g(s):=x(s)\cdot s-f(x(s)) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial s}=x }[/math].
• התמרת לז׳נדר של התמרת לז׳נדר היא הפונקציה המקורית.
• המילטוניאן: התמרת לז׳נדר של הלגראנז׳יאן הפיזיקלי: [math]\displaystyle{ \mathcal H(\vec p,\vec q)=\vec p\cdot\dot\vec q(p,q)-\mathcal L\!\left(\vec q,\dot\vec q(\vec p,\vec q),t\right) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \vec p }[/math] התנע המוכלל ו־[math]\displaystyle{ \mathcal L=E_k-U }[/math].
• [math]\displaystyle{ \frac{\partial\mathcal H}{\partial p_i}=\dot q_i\ \and\ \frac{\partial\mathcal H}{\partial q_i}=-\dot p_i }[/math].
• בקואורדינטות קרטזיות [math]\displaystyle{ \vec q=(x,y,z) }[/math] התנע המוכלל שווה לתנע הרגיל וההמילטוניאן שווה לאנרגיה הכללית.
• סוגרי פואסון: בתנועת גוף ניתן להציג רבים מהגדלים הדינמיים (דהיינו, תלויים בתנועה) כפונקציות של הקואורדינטות ושל התנע המוכלל. סוגרי פואסון של שני גדלים [math]\displaystyle{ A(\vec p,\vec q,t),B(\vec p,\vec q,t) }[/math] מוגדרים כ־[math]\displaystyle{ \{A,B\}:=\sum_i\left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial B}{\partial q_i}\frac{\partial A}{\partial p_i}\right) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \{A,B\}=-\{B,A\} }[/math].
• מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,\mathcal H\} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \partial A/\partial t }[/math] הוא השינוי ב־[math]\displaystyle{ A }[/math] לפי תלות מפורשת בזמן (בניגוד לתלות ע״י [math]\displaystyle{ \vec p(t),\vec q(t) }[/math]).

דוגמאות חשובות

• מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו.
  • קפיץ: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה [math]\displaystyle{ \vec r_\text{loose} }[/math] במצב רפוי ובנקודה [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח אלסטי [math]\displaystyle{ \vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose}) }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math] הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־[math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
    • אם נניח שלקצה השני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] וש־[math]\displaystyle{ x(0)=0 }[/math] היא נקודת שיווי המשקל (בה הקפיץ רפוי) אזי משוואת הכוחות בציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math] על הגוף תהא [math]\displaystyle{ F_x=-kx=m\ddot x }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ x(t)=A\sin(\omega t+\phi) }[/math] כש־[math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף, [math]\displaystyle{ \omega=\sqrt\frac km }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת [math]\displaystyle{ \phi }[/math] ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
      נגדיר את נקודת הייחוס של הקפיץ כנקודת שיווי המשקל. האנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ U=-\int_0^x-kx'\mathrm dx'=\frac{kx^2}2 }[/math].
• מטוטלת מתמטית: חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע ועל הקצה השני מופעל כוח מתיחות [math]\displaystyle{ \vec T=-T\hat\mathbf n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ \hat\mathbf n }[/math] וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־[math]\displaystyle{ T }[/math] גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
  אם מטוטלת מוצבת בקצה החופשי ומישור התנועה אנכי אז האנרגיה הקינטית היא [math]\displaystyle{ \frac{mR^2\dot\theta^2}2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ R }[/math] אורך החוט והאנרגיה הפוטנציאלית היא [math]\displaystyle{ -mgR\cos(\theta) }[/math]. לכן הלגראנז׳יאן הפיזיקלי הוא [math]\displaystyle{ \frac{mR^2\dot\theta^2}2+mgR\cos(\theta) }[/math] ומשוואת אוילר–לגראנז׳ נותנת [math]\displaystyle{ mR^2\ddot\theta+mgR\sin(\theta)=0 }[/math].
• כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח נורמלי [math]\displaystyle{ \vec N }[/math] על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
• החוק הרביעי של ניוטון: בהנתן שני גופים 1,2 מפעיל גוף 2 על גוף 1 כוח כבידה משמר [math]\displaystyle{ \vec F_{12}=-\frac{Gm_1m_2(\vec r_1-\vec r_2)}{|\vec r_1-\vec r_2|^3} }[/math].
  אם נבחר את האינסוף להיות נקודת הייחוס אז הפוטנציאל הגרביטציוני הוא [math]\displaystyle{ U=-\frac{Gm_1m_2}{|\vec r_1-\vec r_2|} }[/math].
  • כדה״א מפעיל בקרבתו כוח כבידה [math]\displaystyle{ -mg\hat\mathbf z }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ m }[/math] מסת הגוף ו־[math]\displaystyle{ \hat\mathbf z }[/math] וקטור יחידה בכיוון מעלה.
    אם נגדיר את נקודת הייחוס בראשית הצירים אז [math]\displaystyle{ U=-\int_0^z-mg\hat\mathbf z\mathrm d\vec r=mgz }[/math].
• כוח מרכזי: כוח שפועל תמיד לכיוון נקודה קבועה במרחב.
• התנגשות פלסטית: הגופים נמצמדים זה לזה לאחר התנגשות. את המהירות המשותפת ניתן למצוא לפי חוק שימור התנע.
• התנגשות אלסטית: הגופים 1,2 נפרדים מיד לאחר ההתנגשות. נניח שהגופים נעים במימד אחד, שלא פועלים עליהם כוחות חיצוניים ושמהירותם לפני ההתנגשות הוא [math]\displaystyle{ v_i }[/math] ואחריה [math]\displaystyle{ u_i }[/math]. אזי משימור התנע מקבלים [math]\displaystyle{ m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2 }[/math] וביחד עם שימור האנרגיה נובע [math]\displaystyle{ v_1+u_1=v_2+u_2 }[/math]. משתי משוואות אלו ניתן לחשב את המהירויות אחרי ההתנגשות.