לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - יהיה בהמשך

שאלות

משוואות ליניאריות

האם מערכת משוואות לינאריות חייבות להיות מעל שדה כדי להתקיים?

נגיד יש מערכת משוואות מעל Z היא אמורה לא להתקיים כי Z לא שדה.. מה לא ככה?

תשובה

משוואה היא שיוון בין שני דברים. לדוגמא, בקבוצה {1,2} ניתן להציג את המשוואה x=2 בעלת פתרון יחיד. כאשר יש חיבור מוגדר בקבוצה אפשר להציג את המשוואה x+y=2 בעלת הפתרון היחיד x=y=1 (שים לב שתחת הגדרה רגילה של חיבור אין פה אפילו סגירות).

על מערכת משוואות שמוגדרת מעל שדה ניתן לבצע פעולות שורה אלמנטריות מבלי לשנות את הפתרון. אבל מערכת משוואות באופן כללי יכולה להיות מוגדרת גם על הרבה פחות משדה.

אז מערכת מעל Z אי אפשר לפתור בשיטת גאוס?

3.11

בחלק א' מספיק לכתוב (Z) בשלישית=1?

תשובה

באיזה אופן זה מספיק? למה [math]\displaystyle{ z^3=1 }[/math]? איך זה מראה שקיים z שכל החזקות שלו יחד עם אחד מהוות את כל קבוצת השורשים?

3.1

האם כדי להוכיח ש-C שדה מותר להשתמש בכך ש-R שדה? תודה

תשובה

כן. מותר להשתמש בכל המידע שיש לכם על שדה הממשיים.

קריטריון מקוצר לתת-שדה

לפי הקריטריון צריך להוכיח שהקבוצה הנתונה היא תת-קבוצה של R וכל שני איברים המוכלים בה מהצורה [math]\displaystyle{ a+b\sqrt p }[/math] מקיימים [math]\displaystyle{ ((a+b\sqrt p)(c+d\sqrt p)^{-1})\in \mathbb{F} [\sqrt p] }[/math] ועוד תנאי שאותו קל להוכיח, השאלה איך אפשר בכלל להוכיח שכפל בהופכי של מס' מסויים (המכפלה היא לא בין מספר והופכו אלא הופכי של מס' אחר) תקיים סגירות? תודה מראש.

תשובה

אתה צריך קודם כל להבין מהו ההופכי ואז להראות שכאשר כופלים מקבלים מספר מאותה צורה.

שאלה 3.1ב'

נתון לי ש-[math]\displaystyle{ a^2+1=0--\gt a=\sqrt (-1) }[/math] אז בגלל שנתון ששדה FxF עם אותן הגדרות כמו ב-C אז הוא מורכב מזוגות סדורים (a,b) כאשר הם שייכים ל-R. נתון לי ש-[math]\displaystyle{ a\in \mathbb{F}---\gt (a,a)\in \mathbb{F} \times \mathbb{F} }[/math] ולכן לא הגיוני ש-a יהיה שווה לאיבר שאינו ממשי, כי אז תהיה סתירה ו-FxF לא יהיה שדה. האם ההסבר מספיק ונכון?

תשובה

לא, מהסיבות הבאות:

• מה הקשר לממשיים ומרוכבים בכלל? מדובר על שדה כלשהו F
• מה ההגדרה של שורש מינוס אחד ואיך היא משפיעה על התשובה?

דוגמא לשדה כזה: [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math] עם a=1. אין מרוכבים ואין ממשיים כלל.

תרגיל 2.8א'

בקושי דיברנו על תתי-שדות בכיתה, ואני לא מבין מה אנחנו צריכים לעשות ב-2.8א'.. זאת בעצם קבוצה שמכילה את שדה F ואת האיבר [math]\displaystyle{ \sqrt p }[/math] אז אני צריך להוכיח שהיא שדה? עם כל התכונות? או שאני יכול להסתמך על כך שאם [math]\displaystyle{ a,b\in \mathbb{F} }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \mathbb{F} \subseteq \mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R} \wedge \sqrt p \in \mathbb{R} }[/math] ואז לכל איבר בקבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[\sqrt p] }[/math] מתקיימות התכונות (כי הן מתקיימות גם ב-R).. ו-F בכל מקרה מקיים את התכונות כי F תת-שדה של R..? לא הבנתי כל כך ואשמח להכוונה..

תשובה

מה שתארת לא מספיק. העובדה שכל האיברים נמצאים בשדה רק אומר שזה תת-קבוצה ולא אומרת בהכרח שזה תת שדה. למשל השלמים הם תת קבוצה של הממשיים אך אינם תת שדה (כי למשל אין להם הופכי).

אפשר להשתמש בקריטריון המקוצר לבדיקת תת שדה שמצויין למעלה באותו עמוד.

--ארז שיינר 18:05, 26 ביולי 2010 (IDT)

שאלה 1.7

המרצה הזכיר שכל [math]\displaystyle{ P^n, P (prime), n\in \mathbb{N} }[/math] כאשר n פריק ו-P ראשוני (Prime) הוא שדה.. ועבור [math]\displaystyle{ 7^2 }[/math] יש 49 איברים, אם המערכת תניב אינסוף פתרונות, בהנחה שאף פיתרון לא חוזר על עצמו, יהיו 49 פתרונות שונים, נכון? או שאוכל להשתמש ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math] שיש לו 7 פתרונות שונים עבור מקרה של אינסוף פתרונות, ולהגיע איכשהו ל-49 פתרונות.. המרצה אמר לי שעדיף להשתמש בזה בדרך מסויימת.. מתרגל יכול לתת כיוון? תודה מראש, תומר זוארץ 15:43, 26 ביולי 2010 (IDT)

לא הבנתי מהו השדה בדוגמא הראשונה ומה אלו הסימונים האלה. יש שדות בגדלים האלה, אני לא בטוח שלמדתם אותם. הכיוון השני אכן עדיף.

לא למדנו את השדות האלו, אך גם לא למדנו איך להגיע מ-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math] לשדה עם 49 איברים.. אחד המתרגלים יכול לתת כיוון/רמז?

אתה מדבר עם אחד המתרגלים :) בכל אופן, אתה לא צריך להגיע לשדה עם 49 איברים בשביל למצוא מערכת משוואות עם 49 פתרונות, יש דרכים אחרות. כמו שאמרתי תנסה לעשות לבד כמה דוגמאות עם מספרים קטנים יותר. תיצור מערכות משוואות ותספור את הפתרונות. אם לא תצליח, אז תשאל. --ארז שיינר 17:36, 26 ביולי 2010 (IDT)

בעצם לכל מערכת משוואות שאפתור, יתקבל פתרון יחיד/אף פתרון/אינסוף פתרונות. אם אפתור מערכת מעל R, אני יכול לקבל פיתרון יחיד עבור x,y,z או אף פיתרון, או אינסוף פיתרונות, כי אינסוף מספרים שייכים ל-R שיקיימו מצב כמו x=x.. לכן, אם אפתור מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math] ואקבל מצב של אינסוף פיתרונות, כמו למקרה x=x בעצם, זה לא באמת אינסוף, אלה למערכת כזו יש 7 פתרונות, כמספר האיברים במודולו 7. לכן חשבתי אם אקבל מקרה של אינסוף פיתרונות מעל שדה ובו 49 איברים, יהיו לי 49 פתרונות שונים.. גם בהרצאה וגם בתרגול לא דיברנו על הקשר בין מס' המשוואות והנעלמים למס' הפתרונות, ואין לי מושג איזה פעולות עליי לבצע על [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math] לדוגמא, כדי לקבל מצב כזה..

האם פתרת מערכות משוואות לדוגמא וספרת את מספר הפתרונות? מעל נגיד Z_2

אני יכול לקבל פיתרון יחיד, אף פיתרון או 2 פתרונות עבור מצב של אינסוף פתרונות..

זה לא נכון. תנסה מספר מערכות עם מספר שונה של משוואות ומספר שונה של נעלמים ותספור את הפתרונות.

תודה רבה, כבר הסתדרתי, זה כל כך פשוט איך לא חשבתי על זה קודם!תומר זוארץ 23:38, 26 ביולי 2010 (IDT)

רמז

מועצת השבט התכנסה והחליטה לתת לכם מעין רמז מנחה: כמה אפשרויות יש לבחירת זוג סדור מתוך קבוצה בת 5 איברים? Adam Chapman 22:48, 26 ביולי 2010 (IDT)

שאלה 1.7 במשוואות ליניאריות

אם אני רוצה למצוא מערכת בעלת 49 פתרונות בדיוק מספיק לומר כך: [math]\displaystyle{ \begin{cases} a_{1,1}x_1+\cdots +a_{1,49}x_{49}=b_1 \\ \vdots \\ a_{49,1}x_1+\cdots +a_{49,49}x_{49}=b_{49} \end{cases} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ?

למערכת זו יש 49 נעלמים לא 49 פתרונות. יכול להיות שיש לה פתרון יחיד, אינסוף פתרון או אין פתרונות כלל. זו אינה תשובה נכונה, תחשוב שוב.

הוספתי לאחר התנגשות עריכה -למה אתה מתכוון "מספיק לומר"? שזה תקני מבחינת הבוחנים (שלא יורידו לך על ניסוח לא נכון, ואז אני מניח שכן)? שזה באמת יתן לך מערכת בעלת 49 פתרונות (ואז לא, אלא אם ידוע גם שבכל משוואה קיים לפחות מקדם לא חופשי אחד השונה מ-0 ואין שתי משוואות שקבוצת הפתרונות שלהן זהה)? -אור שחף, שיחה, 22:54, 25 ביולי 2010 (IDT)

למערכת משוואות ליניאריות מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] לעולם אין 49 פתרונות! ייתכנו אינסוף פתרונות, פיתרון אחד או אף לא פיתרון אחד. כנ"ל לגבי שדה המרוכבים. אתה צריך לפנות למערכות מעל שדות אחרים שנלמדו בקורס. Adam Chapman 23:29, 25 ביולי 2010 (IDT)

אתם מתכוונים שאני צריך לקחת שדה, שיש בו 49 איברים, כמו [math]\displaystyle{ Z_{49} }[/math] ואז ליצור מצב של אינסוף פתרונות, מה שמוביל אותי ל-49? ודרך אגב, אם המודולו הוא חזקה של מס' ראשוני, הוא גם שדה?

בכל מקרה לא צריך לכתוב פה תשובות, רק שאלות :) אבל זו גם לא תשובה מדויקת. למדנו ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] שדה אם"ם p ראשוני. 49 אינו ראשוני.

נכון אבל המרצה הזכיר משהו לגבי חזקות של מספרים ראשוניים..

אז תחשוב כיצד ניתן לפתור את התרגיל בהתחשב בידע הזה, או שתפתח את המחברת ותחפש מה המרצה הזכיר. זה לא מאד מסובך, אני ממליץ לנסות לחשב כמה דוגמאות

שאלה 1.3 ב

לא הבנתי מה צריך להוכיח שם הרי מה שהם נתנו שם זה בדיוק תכונת הצימצום אז איך אמורים להראות שזה נובע מתכונת הצימצום..?

תשובה

שים לב להבדל בין הנוסח של סעיף אחד לסעיף א'. "מצא את ההבדלים"

או בתשובה קצת יותר ברורה, אתה הופך את הביטוי בסעיף ב לביטוי שבסעיף א (באופן פשוט שהייתי רושם אותו כאן אבל נראה לי שהמתרגלים יכעסו אם אעשה זאת) ואז משתמש בתכונת הצמצום.

שאלה חשובה וקצרה על 3.1 (לא אותו אחד שכתב את השאלות האחרות)

איך אפשר להוכיח שהקבוצה עם התכונה הנתונה [math]\displaystyle{ a^2 +1 =0 }[/math] היא לא שדה, אם בכלל לא הגדרנו מה זה "בריבוע"? אמורים להוכיח שקבוצה כלשהי היא לא שדה אם אחת מהתכונות של השדה (מוגדרות וכו') לא מתקיימת שם. אבל בתכונות האלה של השדה אין אזכור בכלל לאיבר בריבוע, אז איך אפשר להוכיח שהקבוצה היא לא שדה? תודה.

בעצם [math]\displaystyle{ a^2=a\cdot a }[/math] ז"א, זה נובע מכפל, לכן זה לא משנה איך תכתוב את זה.. דרך טובה לפתור את השאלה הזאת, היא להניח ש-[math]\displaystyle{ F\times F }[/math] שדה, ואז להראות שכאשר אנו משתמשים באחת התכונות שלו, זה מוביל לסתירה..

הכותב שמעליי צודק. לפי הגדרה [math]\displaystyle{ a^2=a\cdot a }[/math] כפי שהגדרנו בתרגיל כשפתרנו את השאלה עם סכום של סדרה הנדסית [math]\displaystyle{ S=1+q+q^2+...+q^n }[/math].

עוד שאלה על תרגיל 3.1,סעיף ב

את רוב הדברים קל להוכיח, ההוכחה זהה בעצם להוכחה בסעיף הקודם, חוץ מהאיברים ההופכים לכפל: צריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ a/(a^2+b^2) }[/math] ו[math]\displaystyle{ b-/(a^2+b^2) }[/math] שונים מ- i, כי הם צריכים להיות איברים של F ובגלל הסגירות של שדה המרוכבים, אני לא רואה סיבה שהם יהיה שונים מ- i. בנוסף ניסיתי ולא הצלחתי להתקרב להוכחה בנושא. יש אולי שגיאה בצורת החשיבה שלי?

תשובה

דבר ראשון אני לא מבין את הקישור לשדה המרוכבים ול-i, מדובר על שדה F כללי. הכפל והחיבור מוגדרים בצורה דומה לשדה המרוכבים (הנוסחאות רשומות מעל השאלה).

יש להוכיח שאם התכונה הספציפית בF מתקיימת אזי FxF עם הכפל והחיבור שמוגדרים למעלה אינו שדה.

תרגיל 3.1,סעיף ב

בסעיף ב צריך להוכיח שFxF הוא שדה אם הוא מקיים את התנאי, או רק להוכיח שהוא לא שדה אם התנאי לא מתקיים?

תניח בשלילה ש-FxF שדה, ותשתמש בתכונה שלו [math]\displaystyle{ a^2+1=0 }[/math] ואז כשתגיע לסתירה, בעצם ההנחה לא נכונה ו-FxF לא שדה..

תשובה

צריך רק להוכיח שהוא אינו שדה אם קיים a שכזה. --ארז שיינר 15:57, 24 ביולי 2010 (IDT)

הגשת תרגיל 1

שלום רב,

למתי צריך להגיש את תרגיל 1?

תודה רבה מראש.

עוד לא התחלנו ללמוד, וכבר אתה רוצה להגיש תרגיל? :) נודיע לכם מחר בשיעור. (אגב, אם אתה רוצה לרדת שורה, תשאיר שורת רווח - ראה דף עזרה).

1/8. -אור שחף, שיחה, 16:01, 22 ביולי 2010 (IDT)