בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

אותה שאלה

לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.

נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.

הודעה לקראת הבוחן

(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)

1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.

2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).

3) אורך הבוחן יהיה שעה.

4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.

5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת. Adam Chapman 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

הוכחה שפונקציה היא על

איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.

ראה תשובה לשאלה הקודמתAdam Chapman 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

שאלה כללית

מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?

תשובה

אם ברצונך להראות כי [math]\displaystyle{ f: A \rightarrow B }[/math] הינה פונקציית על, אתה צריך להראות כי לכל איבר [math]\displaystyle{ b \in B }[/math] יש מקור [math]\displaystyle{ a \in A }[/math]. לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב[math]\displaystyle{ B }[/math] ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה, למשל אם [math]\displaystyle{ f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(z)=z+1 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{b} }[/math] יש מקור [math]\displaystyle{ b-1 }[/math]. Adam Chapman 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

שתי שאלות

1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?

2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?

תודה רבה.

תשובה

1. יחס שקילות הוא תמיד על [math]\displaystyle{ A }[/math], דהיינו מ[math]\displaystyle{ A }[/math] ל[math]\displaystyle{ A }[/math] כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות ל[math]\displaystyle{ A }[/math].

2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא ריק. Adam Chapman 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

בקשר ל-1: קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על [math]\displaystyle{ AxB }[/math]. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על [math]\displaystyle{ AxB }[/math], בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

שאלה על הגדרת הפונקציה

כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.

אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות

כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. Adam Chapman 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה על פונקציה חח"ע

אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B] או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?

אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.

לקבוצה של שני-הרכבת יחסים

הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי. ההגדרה: [math]\displaystyle{ R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S }[/math]

(שני)

שאלה לגבי הבוחן

האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו [math]\displaystyle{ g:A-\gt AxB }[/math] ? (איברים שהם זוג סדור)

שאלה 7

כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')

A^2 יח"ש

צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -אור שחף, שיחה, 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאליAdam Chapman 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 3א בתרגיל 3

נאמר שf היא פונקציה מ-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], אבל 0 אינו איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] (אבל איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה. לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא כן טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה היא מספר טבעי). -אור שחף, שיחה, 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.

האם הכוונה בz5 היא המודולו?

אכן.

הבוחן- אני אשמח שרק מתרגל יענה על השאלה

האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?

אני לא מתרגל אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:

• • קבוצות
  • יחסים
  • פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?

הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')