לינארית 1 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ \dim W+U= \dim W + \dim U - \dim W\cap U }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - בוחן + תרגיל 3

שאלות

שאלה חשובה על 6.41

[math]\displaystyle{ A }[/math] מעל שדה סופי, אז קיים מספר סופי של מטריצות [math]\displaystyle{ A }[/math] (מסדר [math]\displaystyle{ n*n }[/math] קבוע).

הייתם מצפים שמכך ינבע ש- [math]\displaystyle{ A^n }[/math] יתן מטריצה שונה לכל [math]\displaystyle{ n }[/math], ואחת מהן תהיה [math]\displaystyle{ I }[/math] כי [math]\displaystyle{ I }[/math] נמצאת בכל שדה מטריצות.

אבל אולי [math]\displaystyle{ A^1=A^2=A^3 }[/math]...?

ואם הוכחתי שלא קיים מצב כזה עבור [math]\displaystyle{ A \neq I }[/math], אז אולי [math]\displaystyle{ A^2=A^4=A^6 }[/math]... וגם [math]\displaystyle{ A=A^3=A^5 }[/math]... ? ונניח שהוכחנו שזה לא אפשרי (עבור [math]\displaystyle{ A \neq I }[/math]). אז מי אמר שאין מטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ A=A^4=A^7 }[/math]... וגם [math]\displaystyle{ A^2=A^5=A^8 }[/math]... וגם [math]\displaystyle{ A^3=A^6=A^9 }[/math]... ?

ונניח שהוכחנו שגם זה לא מתקיים, אז יש עוד אינסוף אפשרויות (כי יש אינסוף מספרים ראשוניים, בדומה למה שקורה בשדה [math]\displaystyle{ Z_p }[/math]) שאולי הן מתקיימות, מה שמונע מ-[math]\displaystyle{ A^n }[/math] להיות שווה [math]\displaystyle{ I }[/math], אפילו שיש מספר סופי של מטריצות [math]\displaystyle{ A }[/math] מעל שדה סופי.

אז אני לא יודעת איך להוכיח את זה, ואני כבר המון זמן על התרגיל. עזרה בבקשה? :(

לוגיקה

האם הביטוי: A הפיכה וגם [math]\displaystyle{ A \neq I }[/math] גורר [math]\displaystyle{ A^n \neq A }[/math],

שקול לביטוי: A הפיכה וגם [math]\displaystyle{ A^n=A }[/math] גורר [math]\displaystyle{ A=I }[/math]?

שמתי אותו בטבלת אמת ונראה לי שזה נכון... הגיוני?

תשובה

לוגית המשפטים האלה אכן שקולים. אבל שניהם משפטי שקר במטריצות באופן כללי.

עבור n טבעי גדול או שווה 2 הם משפטי אמת, לא? (הצלחתי להוכיח באינדוקציה)

לא,יש מטריצות המקיימות [math]\displaystyle{ A^2=I,A\neq I }[/math]. למשל המטריצה [math]\displaystyle{ -I }[/math]. ואז למה שווה [math]\displaystyle{ A^3 }[/math]?

מטריצות בחזקה שלילית

ידוע ש- [math]\displaystyle{ A=P^{-1}BP }[/math], וגם שהמטריצות A,B,P הפיכות. האם מכך נובע ש- [math]\displaystyle{ A^{-1}=(P^{-1}BP)^{-1} }[/math] ?

תשובה

אני מניח שמה שאתה באמת רוצה לשאול זה האם [math]\displaystyle{ (ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1} }[/math] ואם שלושת המטריצות הפיכות התשובה היא כן. אם זה בהקשר לתרגיל, זה מה שאתה צריך להוכיח פחות או יותר.

לגבי השאלה שלך, אם נתון [math]\displaystyle{ A=D }[/math] אז ברור ש[math]\displaystyle{ A^{-1}=D^{-1} }[/math] אם A הפיכה, וזה בדיוק מה שרשמת בשאלה.

למה [math]\displaystyle{ (ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1} }[/math] ?? ותודה על התשובה.

לא משנה, הבנתי לבד.

שאלה 1ב

האם הכוונה היא להביע את הוקטור u באמצעות הסקלרים או להביע את הסקלרים באמצעות x,y,z,w? תודה מראש!

תשובה

להביע את הוקטור u כפתרון של מערכת משוואות. #שאלה מהדף

ציוני הבוחן בלינארית

עשיתי את הבוחן ותעודת הזהות שלי לא מופיעה ברשימה. מצד שני מופיעה תעודת זהות זהה לשלי חוץ ממספר אחד (האחרון). אל מי לפנות? (ת.ז. 205781990, מופיעה 205781997)

תשובה

כנראה שזו תעודת הזהות שלך, אני אתקן

שאלה 1ה מדף העבודה

שלום רב, בתסעיף ה עליי למצוא בסיס שיקיים את המתבקש בסעיף... האם מספיק שאני אמצא וקטור שמקיים את שתי המשוואות (כמובן שאני אראה שהוא אכן מקיים אותן ע"י הצבה) או שאתם רוצים שאני אפתור את כל המשוואות עם הסקלרים, אגיע לפתרון כללי ואציב ערכים לסקלרים כדי לקבל בסיס כלשהו? תודה רבה מראש...

תשובה

צריך לפתור את מערכת המשוואות, לא לדעת מראש מה הפתרון ולהציב. אחרת איך אתה יודע שהוא הפתרון היחיד ומהווה בסיס?

שאלה 6.37 ג-ד

אם לא הצלחתי להוכיח את ג' (כי אני כנראה קצת מטומטם) מותר לי בכל זאת לטעון אותו כדי לפתור את ד'?

תשובה

כן אתה יכול להשתמש בזה.

שאלה ראשונה מהדף

בסעיף a יצא לי משוואה אחת, והגעתי אליה על ידי הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטוריםV1 V2 ן-V3. אז בסעיף ב' אני פשוט צריכה להחזיר את המקדמים שהצבתי בהתחלה?

תשובה

• אני לא מבין איך הצבת פרמטרים כמקדמים לוקטורים יכול לקדם אותך. הרי הוקטורים בSpan הם לא הסקלרים שנכפלים בוקטורים v1,v2,v3. צריך להגיע למשוואות על x,y,z,w כך שוקטור שמקיים משוואות אלא יהיה בSpan.
• בסעיף ב' צריך לפתור את מערכת המשוואות שמצאת בסעיף א'. כמו שפתרנו מערכות משוואות עד היום.

אני גם הצבתי מקדמים ובסעיף ב' רשמתי את זה כוקטור.. האם מישהו יכול להסביר שוב מה צריך לעשות (זו שאלה שכולם שואלים..)?

6.30 ד'

לא הבנתי מהי בדיוק המטריצה הנלווית, איך היא נראית? אפשר אולי את ההגדרה המתמטית?

וגם גיגלתי את המושג ובויקיפדיה יש מטריצה נלווית אחרת... מטריצה נלוית בויקי

תשובה

זו מויקי היא סה"כ השחלוף של זו מהחוברת עם החלפת סימני המשתנים.

אני אסביר איך היא נראית:

• זו מטריצה ריבועית [math]\displaystyle{ n\times n }[/math]
• השורה התחתונה ברורה - קבועים [math]\displaystyle{ a_0,...,a_{n-1} }[/math]
• האלכסון הראשון מעל האלכסון הראשי הוא אחדות
• כל השאר אפסים

ובהגדרה מתמטית:

[math]\displaystyle{ [A]_{n,i}:=a_{i-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \forall i\lt n:[A]_{i,i+1}:=1 }[/math]

וכל השאר אפסים.

תודה רבה!

Span

השאלה שלי מאוד פשוטה- מה ההגדרה המתמטית המדוייקת (כלומר לא במילים, רק בכתיב מתמטי) של [math]\displaystyle{ Span(A) }[/math] עבור קבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] כלשהי?

תשובה

יהא V מ"ו מעל שדה F ותהי [math]\displaystyle{ S \subseteq V }[/math] קבוצה המוכלת בV

שתי הגדרות שקולות: (יש יותר)

• [math]\displaystyle{ Span(S)=\{u=\sum_{i=1}^n \alpha_iv_i|\alpha_i \in F, v_i \in S,n \in \mathbb{N}\} }[/math]
• [math]\displaystyle{ Span(S) }[/math] הינו חיתוך כל תתי המרחבים של V המכילים את S.

6.30 ג'

איה הוא?

תשובה

רק תלמידים חכמים רואים אותו

התכוונת שרק תלמידי חכמים רואים אותו

לא, הוא התכוון שהמלך עירום

שאלה כללית על אינדוקציה

תמיד באינדוקציה אנחנו מוכיחים שהטענה נכונה לכל n טבעי או אם הגבלות מסויימות(גדול שווה וכו'). השאלה שלי היא האם מותר להוכיח עבור n טבעי מסויים, כלומר שקיים n שעבורו הביטוי מתקיים. אם השאלה לא מובנת אז אני אחדד אותה-כשאנחנו מוכיחים טענה, אנחנו מוכיחים עבור n=1 ואז מניחים שהטענה נכונה עבור n=k ומכאן מוכיחים שהטענה נכונה עבור n=k+1 השאלה אם כשאני מניח ש-n=k אני אני יכול להניח שלא כל k פותר אלא k מסויים(ספציפי) כלומר קיים k כזה, ומכאן להוכיח שגם קיים n=k+1 שפותר. תודה מראש!אגב, השאלה היא על 6.40 כי אני לא רואה דרך אחרת\כיוון להוכיח אותה(סעיף ב') אם משהו יוכל לתת לי כיוון אחר אני אשמח

תשובה

באופן כללי באינדוקציה אתה צריך להוכיח עבור המקרה הראשון n=1 ולהוכיח את הכלל "אם מתקיים עבור k אז מתקיים עבור k+1". לא מספיק להוכיח פחות מזה.

לגבי סעיף ב' ב6.40, אין דרך להוכיח את זה באינדוקציה. אינדוקציה על מה?

רמז: כמה מטריצות יש מעל שדה סופי?

לא הבנתי את הרמז, אינסוף? אגב, הכוונה הייתה ל6.41 כמובן

מטריצות מגודל קבוע כמובן, נגיד nxn.

מה זה בכלל אומר שהמטריצה הפיכה מעל שדה סופי?

בדיוק אותו דבר שזה אומר מעל שדה אינסופי. קיימת B כך שAB=BA=I. מכיוון שI מוגדרת רק על ידי אפסים ואחדות היא מוגדרת מעל כל שדה.

איברי המטריצה הם מהשדה הסופי (אם לזה אתה מתכוון...)

שאלה מהדף

מה הכוונה בלפתור את מערכת המשוואות של סעיף א'?(1b)כלומר, מאיזה צורה צריך להיות הפתרון?

תשובה

כמו שפתרתם משוואות עד היום. פתרון כללי עם פרמטרים חופשיים s,t וכו'. למשל [math]\displaystyle{ \{(s,t+s,4,s,t)|s,t \in \mathbb{R}\} }[/math] (כמובן שזה לא הפתרון פה...)

שאלה 4.3

בחוברת של התרגילים כתוב שההגדרה של [math]\displaystyle{ V+W }[/math] היא "התת מרחב הקטן ביותר שמכיל את [math]\displaystyle{ V }[/math] ואת [math]\displaystyle{ W }[/math]", ובהרצאה ההגדרה שאפי נתן הייתה ""תת מרחב המכיל את [math]\displaystyle{ W }[/math] ואת [math]\displaystyle{ V }[/math]". אני מניח שברור מה ההבדל, הרי אם ההגדרה של אפי נכונה הרבה יותר קל לתת דוגמה נגדית. אם ההגדרה של החוברת נכונה, אז אני לא מצליח למצוא שום דוגמה שבה [math]\displaystyle{ U+V=U\cup(V) }[/math] ואז אני לא מצליח להפריך את סעיף א'. או שיש דרך אחרת לעשות הכל ואני בכלל לא בכיוון? עזרה בבקשה...

תשובה

אני לא מתרגל אבל ע"פ מה שאני הבנתי- [math]\displaystyle{ U+V }[/math] הכוונה לכל הוקטורים שניתנים להצגה כסכום של 2 וקטורים אחרים כאשר אחד מ-[math]\displaystyle{ U }[/math]ואחד מ-[math]\displaystyle{ V }[/math].

כלומר [math]\displaystyle{ U+V= \{ u+v | u \in{U} \and v \in{V} \} }[/math] --Edi.gotlieb 15:41, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

נכון מאד זו הגדרה נכונה. היא שקולה להגדרה תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את שניהם (הוכיחו את זה, זה תרגיל קל). סתם מרחב שמכיל את שניהם אינה ההגדרה לW+U, אני גם מאמין שאפי לא הגדיר את זה כך. --ארז שיינר 15:06, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

רמז לפתרון

בשאלות כאלה, לפעמים, נוח לחשוב על הגאומטריה. למשל, במרחב התלת מימדי יש שני סוגי תתי מרחבים: מישורים (מימד 2) וקוים ישרים (מימד 3). קל מאד לחשב חיתוכים וסכומים של מרחבים כאלה: חיתוך של קוים ישרים זרים הוא הראשית - כלומר אפס, חיבור של קוים ישרים זרים הוא המישור שהם יושבים בו, וכדומה.

שאלה 4.3

בסעיף ב' האם מספיק להראות אי הכלה חד-כיוונית כדי להוכיח אי-שיוויון תמיד? בקיצור מה צריך לעשות כדי להוכיח אי-שיוויון בין קבוצות?

תשובה

על מנת להראות שקבוצות לא שוות יש להראות שקיים איבר בקבוצה אחד שלא שייך לקבוצה השנייה.

יצאת מ-X מוכל באגף שמאל והגעתי לכך ש- X לא תמיד מוכל באגף ימין- כלומר יש מיקרים בהם זה כן ויש בהם שלא, זה מספיק?

מה מבקשים בעצם? להוכיח שהקבוצות לא תמיד שוות או שהם תמיד לא שוות?

הרישום אומר שהם תמיד שונות. יש להוכיח או להפריך את זה (דוגמא אחת שם הם שוות מהווה הפרכה)

שאלה 2.9

רוצים שנוכיח כי קבוצות מסוימות של מטריצות הם תת-מרחבים וקטורים של המרחב המטריצות הריבועיות. עכשיו לא ניתן להוכיח כי כל קבוצה של מטריצות מוכלת בקבוצה אחרת אלא אם נתון הסדר שלהן. נתון כי המרחב הוא מסדר [math]\displaystyle{ n \times{n} }[/math] אך לא נתון מה הסדר של קבוצת המטריצות האנטי סימטריות או האלה שהtrace שלהם מתאפס. האם אני צריך להניח שמדובר על הקבוצה מסדר [math]\displaystyle{ n \times{n} }[/math]  ? תודה

תשובה

כן הכוונה למטריצות מסדר nxn, כלומר לקבוצות המוכלות במרחב הנתון.

6.30 ב'

רציתי לשאול האם מותר לי כחלק מפעולת הדרוג לכפול בcos או בsin כסקלר, כלומר בפעולה האלמנטרית שאני מכפיל..?

תשובה

רק בנקודות בהן הם לא מתאפסים. אחר כך צריך לבדוק מה קורה בנקודות שהם מתאפסים בנפרד. כמו בדירוג עם פרמטר.

שאלה 1 מקובץ התרגילים

בשאלה 1 ד',כתוב מקיים את מערכת המשוואות שמכילה את המשוואות מסעיף א וגם ב. המשוואות מא' וב' הם אותו משוואות, האם הכוונה לסעיף א וסעיף ג?
תודה

תשובה

כן, סעיפים א' וג'

6.30

שלום, רציתי לשאול אם יש עוד דרכים למצוא מטריצה הפיכה חוץ מלדרג את המטריצה ולהפעיל את אותן פעולות אלמנריות על מטריצת היחידה?

תשובה

במטריצות 2 על 2 למדתם על שיטה מקוצרת. מעבר לכך אני לא יכול לחשוב על שיטה פרקטית יותר (מאשר לפתור מערכת עם מליון משוואות ומליון נעלמים :) )

במילים אחרות, אין "נוסחא" פשוטה להפוך מטריצה 3 על 3 (אתה מוזמן לנסות לחשב את הנוסחא הזו בעצמך), ואין דבר פשוט מלדרג מטריצה.

תרגיל 6.23

מותר לי להשתמש בנוסחה של סדרה הנדסית לשם ההוכחה,או שזה בעצם מה שאני אמור להוכיח?

תשובה

זה מה שצריך להוכיח.. הרי זו בדיוק הנוסחא.

עוד שאלה על 6.34

הצלחתי להבין שאם אכפול את המטריצה של המקדמים של מערכת המשוואות במטריצה ההופכית של A, אקבל את מט' הזהות. הבעיה היא 2 העמודות של האיקסים שנותרו- האם אני יכול "לפצל" את המטריצה ל3 העמודות הראשונוות ול2 הנותרות, לכפול רק את המטריצה הראשונה (שפיצלתי) במטריצה ההופכית של A, ואז להחזיר את המטריצות המפוצלות חזרה למטריצה אחת? אם כן, למה מותר לעשות את זה, ואיך עושים את זה? (איך קוראים לפעולה הזאת ומה הנימוק שאפשר לתת לה?) בנוסף, איך המטריצה של התשובות (123) מתנהגת? כלומר, כשאני מפצל את המטריצות, אני צריך לשים את המטריצה של התשובות מימין לכל אחת מהמטריצות שפיצלתי? אני לא מבין איך כל זה מתנהג. תודה!

תשובה

אסור לפרק את המטריצה ולכפול רק חלק ממנה ואז להרכיב חזרה. אני רק לא מבין לא לא פשוט לכפול.

והרי משפט: תהי P מטריצה הפיכה, ותהי Ax=b מערכת משוואות. אזי מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות Ax=b זהה למרחב הפתרונות של המערכת PAx=Pb.

הרי אתם משתמשים במשפט הזה כל פעם שאתם מבצעים דירוג (כי דירוג הוא כפל במטריצה אלמנטרית).

הוכחה: אם x פתרון של Ax=b ברור שהוא פתרון של PAx=Pb (כי כפלנו שני צדיים שווים באותו דבר). בצורה דומה, ניתן לכפול את המערכת השנייה בהופכית של P לקבל [math]\displaystyle{ P^{-1}PAx=P^{-1}Pb }[/math] כלומר Ax=b ולכן כל פתרון של השנייה הוא גם פתרון של הראשונה, כי כפלו שני צדדים שווים באותה מטריצה ([math]\displaystyle{ P^{-1} }[/math]).

בקשה מארז שיינר- המתרגל של שיעור התגבור בלינארית (אם אפשר...)

ארז, בפעם הקודמת שיעור התגבור בלינארית הלך ללא הכנה, בלי שהכנת תרגילים שיהיה אפשר לעשות בו ובעצם בלי מה לעשות. אפשר לבקש שלשיעור התגבור הבא תכין כמה תרגילים מאתגרים שיכולים להופיע בבוחן/מבחן, במיוחד שאלות שמצריכות שימוש במכפלה במטריצות בסיסיות (כמו בשאלה שהייתה בשיעורי הבית), הוכחות עם מטריצות, וכו'? אני חושב שיהיה עדיף לעשות תרגילים נוספים, מאשר רק לחזור על הגדרות שאותן פשוט אפשר לקרוא מההרצאות. אם אפשר, ארצה לבקש אותו דבר גם מאדם בתגבור של בדידה. תודה רבה!

תשובה

שיעור התגבור איננו שיעור חזרה לקראת בוחן/מבחן. מטרת השיעור היא לעזור לתלמידים שמתקשים להדביק את קצב הקורס. תרגילים מאתגרים - מהגדרתם - אינם מתאימים לשיעור תגבור.

תרגילים על מטריצות בסיסיות יש מספיק בשיעור ובשיעורי הבית. אם הפתרונות לא מובנים (זה בהנחה שהם נקראו) ניתן לעבור עליהם שוב ולהסביר.

השיטה של פתרון תרגילים מסוגים שונים על מנת ללמוד לבוחן/מבחן עובדת בבגרות אך לא באוניברסיטה. בקורס אקדמי חייבים להבין את ההגדרות ואת המשפטים ואת הרעיונות המרכזיים בחומר. מטרת התגבור היא לעזור בביצוע משימה זו.

ארז.

תרגיל 2.9

בשאלה מראים ש [math]\displaystyle{ V=F^{nxn} }[/math]. מה זה? הרי V זה מ"ו, לא מרחב של מטריצות... ומטריצות זה אוסף של וקטורים, לא וקטור- יש בהם מחלקי אפס אז הם בכלל לא יכולות להיות מ"ו.. בקיצור פשוט תסבירו מה הכוונה של מה שכתבתי קודם..

תשובה

• מרחב המטריצות הוא אכן מרחב וקטורי עם פעולות חיבור מטריצות וכפל בסקלר הידועות.
• מחלקי אפס אין בשדה. במ"ו אין כפל בין וקטורים ולכן אין משמעות למחלקי אפס.
• מטריצות זה לא אוסף של וקטורים. מטריצה זו טבלה של מספרים, והיא וקטור בעצמה (כאשר מסתכלים על המטריצות כמרחב וקטורי)

שאלה על משפט

המשפט: V מ"ו מעל שדה F תהי K שמוכלת בV. אם K מוכלת בU שהוא תת מרחב של V אז SPK מוכל בU.

ההוכחה שהמרצה כתב: ניקח u ששיך לSPK ונאמר שu שווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi.)כאשר v שייך לK. כיוון שv שייך לK ןK מוכל בU הרי v שייך לU, אבל U תת מרחב של V ןלכן סגור לצרופים לינאריים. לכן u ששווה לסיגמה של אלפא (במקום הi) כפול v (במקום הi),שייך לU.

אני לא ממש הבנתי את ההוכחה, אם U סגור לצרופים לינאריים איך זה הגיוני שu שייך U?

תשובה

מה הכוונה איך זה הגיוני? זה מה שסגירות אומרת.

סגירות בU אומרת שלכל וקטורים[math]\displaystyle{ u_1,...,u_n \in U }[/math] ולכל סקלרים[math]\displaystyle{ a_1,...,a_n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_1u_1+...+a_nu_n \in U }[/math]. (זה נובע מתכונות הסגירות לכפל בסקלר וחיבור של מרחב וקטורי - והרי U הוא מ"ו).

שאלה 6.37

בסע' ג' אסור לי להניח שאם A הפיכה אז היא בעצם מקיימת את מה שנדרש מ-P, נכון?

מה זאת אומרת מה שנדרש מP? כלומר [math]\displaystyle{ B=A^{-1}AA }[/math]? אין סיבה להניח דבר כזה... כי הרי זה שווה A