בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

[math]\displaystyle{ {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

שאלות

תרגיל 4 שאלה 4

מהו הישר הממשי? תודה, גל.

שאלה 5

בסעיף א', מתכוונים ל |a|-|b| = |a| - |c| במקום ל |a-b| = |a-c| לא? כי אין דבר כזה הפרש בין קבוצות (הפרש עם קו אנכי)..?

[math]\displaystyle{ A-B=A\setminus B }[/math] לכל שתי קבוצות A,B. אלה שני סימונים שונים להפרש קבוצות.

תשובה

הכוונה ל- [math]\displaystyle{ |A\setminus B|=|A\setminus C| }[/math] (גרישה אושרוביץ')

חיתוך

אם ידוע לי ש-[math]\displaystyle{ A\setminus B=A\setminus C }[/math] אני יכולה להסיק מזה שB=C?

לא: [math]\displaystyle{ A=\{1,2\}\and B=\{1\}\and C=\{0,1\}\implies A\setminus B=\{1,2\}\setminus\{1\}=\{2\}=\{1,2\}\setminus\{0,1\}=A\setminus C }[/math]

התבלבלתי זה היה אמור להיות שB וC מוכלים בA.. ואז אני חושבת שזה נכון. אבל תודה :)

אם [math]\displaystyle{ B,C\subseteq A }[/math] אז

[math]\displaystyle{ \begin{align}&A\setminus B=A\setminus C\\\implies&A\cap B'=A\cap C'\\\implies&A'\cup(A\cap B')=A'\cup(A\cap C')\\\implies&(A'\cup A)\cap(A'\cup B')=(A'\cup A)\cap(A'\cup C')\\\implies&(A\cap B)'=(A\cap C)'\\\implies&A\cap B=A\cap C\\\implies&B=C\qquad\Big(\text{because }B,C\subseteq A\Big)\\\blacksquare\end{align} }[/math]

תרגיל 3, שאלה 3

כאשר מוכיחים הופכיות של פונקציה ע"י מציאת הפונקציה ההופכית, צריך להראות איך הגענו לפונקציה ההופכית, או שמספיק להראות רק שהיא אכן ההופכית? לדוגמה, נתונה [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-1\and f:\mathbb C\to\mathbb C }[/math]. האם צריך להסביר למה [math]\displaystyle{ g(x)=\sqrt{x+1}\and g:\mathbb C\to\mathbb C }[/math] היא ההופכית לה מימין (ולמה g פונקציה ולא יחס שאינו פונקציה)? תודה, אור שחף, שיחה, 19:59, 10 באוגוסט 2010 (IDT)

תשובה

בגדול, התשובה היא לא. לא תמיד יש אלגוריתם מובנה למציאת פונקצייה הופכית ואם עליתם עליה באיזושהי דרך, זה לא מאוד חשוב שתציינו איך עליתם עליה. וכן, כמובן אחרי שנתת את הפונקציה, אתה צריך להראות שהיא אכן ההופכית מימין לפונקצייה שאתה רוצה להוכיח שהיא הפיכה מימין. Adam Chapman 13:44, 12 באוגוסט 2010 (IDT)

תרגיל 3. שאלה 2. סעיף א'

האם אנחנו קובעים את a וb. אם לא אז איך אנחנו יודעים שמס' האיברים בb גדול שווה למס' האיברים בa?

שאלה 1 סעיף ד'

הכוונה היא שהטווח וגם התחום של הפונקציה הוא רק האיברים {0,1,2,3,4}? או שאפשר לקחת (בטווח) גם את 6,7,8 וכן אלה כשהם במודולו 5? ואם מדובר רק ב{0,1,2,3,4} בטווח, איך אפשר לדעת מה הולך למה?

תשובה

כן. הן טווח והן תחום הם [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math]. לשאלתך, למשל [math]\displaystyle{ 3^2=_5 4 }[/math] (גרישה אושרוביץ')

תשובה

לדעתי, כל מה שבשדה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math] אחרת זאת לא פונקציה(אין הגדרה ל-[math]\displaystyle{ [x^2] }[/math] כאשר x=4 למשל)

תרגיל 4 (מתרגיל 3)

סעיף ו' ו-ה' דומים לחלוטין מלבד העובדה שב-ה' כתוב [math]\displaystyle{ f }[/math] וב-ו' כתוב[math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] לא נתון כלום על [math]\displaystyle{ f }[/math] האם זה אומר שמותר לומר שנסמן את [math]\displaystyle{ f^{-1}=f }[/math] ואז ההוכחה שקולה להוכחת סעיף ה'?

תשובה

אני מציע לחשוב איזה תכונות מיוחדות יש ל-[math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] (גרישה אושרוביץ')

שאלה

אתם יכולים להזכיר איך בודקים חד ערכיות ושלמות?

תודה רבה!

#שאלה על הגדרת הפונקציה

שאלה 2

אם אני מגדירה את הפונקציה G ככה זה בסדר? [math]\displaystyle{ g(x)= (x/2,x+1/2) }[/math] ככה שאני מקבלת זוג סדור [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כש[math]\displaystyle{ a=(x/2) }[/math] ו[math]\displaystyle{ b=(x+1/2) }[/math] אם לא- מישהו יכול לתת לי כיוון איך להגדיר את הפונקציה? (וזה מה שאני צריכה לעשות-להגדיר פונקציה G ולהראות שהיא חח"ע?)

תשובה

את צריכה לוודא האם [math]\displaystyle{ x/2 \in A }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x+1/2 \in B }[/math] (גרישה אושרוביץ')

להוכיח שפונקציה היא על

ראיתי את השאלות שלמטה והתשובות עליהן, ובכל זאת לא הבנתי איך להוכיח.

אם אי אפשר למצוא נוסחה למקור?

ראיתי בתשובות לבוחן שכדי להוכיח ש-f היא על, מספיק להוכיח ש-f הפיכה מימין, כלומר קיימת g מ-U ל-U כך ש-f הרכבה g היא פונקציית הזהות על U.

לא מצאתי במחברת שלי שום דבר על "הפיכה מימין" - אפשר בבקשה הסבר מה זה?

ואם מדובר פה על איזה משפט מוגדר, אז נוסח המשפט יעזור לי מאוד. לא מצאתי כזה במחברת.

תשובה

אם [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] חח"ע ועל אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע ו[math]\displaystyle{ g }[/math] על. בפרט, אם [math]\displaystyle{ g \circ f=id }[/math] אז היא חח"ע ועל. כלומר, אם [math]\displaystyle{ g }[/math] היא הפיכה מימין (כלומר קיימת [math]\displaystyle{ f }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ g \circ f=id }[/math]) אז [math]\displaystyle{ g }[/math] על. אגב, הקושי למצוא נוסחא למציאת מקור עבור כל תמונה זהה לקושי במציאת פונקצייה מתאימה מימין. Adam Chapman 19:00, 8 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה על התשובה. מה זה id?

הקושי העיקרי שלי בלהוכיח "על" הוא ההסברה. כמעט שום הסבר לא נראה לי מספק וסגור מכל הקצוות. כך שאם יש נוסחה שאומרת שברגע שמצאתי (עצם המציאה לא קשה בפונקציות שבתרגיל) f כך ש-g הרכבה f שווה משהו אז g על, זה פותר את הקושי.

שאלות 2 ו3-א'

בשאלה 2, האם אני צריך להוכיח ש [math]\displaystyle{ g:A \rightarrow AxB }[/math] היא פונקציה? בנוסף, אני גם לא כל כך הבנתי איך אפשר לעשות פונקציה בין יחסים (כמו [math]\displaystyle{ AxB \rightarrow BxB }[/math]) או בין קבוצה ליחס כמו בשאלה הנ"ל.

בשאלה 3, כתוב לציין האם הפונקציה הפיכה או חח"ע או על, אבל האם היא יכולה להיות אף אחת מהן? או בכלל לא פונקציה, כמו ב3-א' ש [math]\displaystyle{ f(0) }[/math] שלא מוגדר? ובשאלה כתוב לציין, אז אני צריך גם להוכיח/לנמק למה אם היא כן? או לתת דוגמה נגדית אם היא לא?

אם מישהו יוכל לענות כמה שיותר מהר, עוד לפני הבוחן, אני אודה לו מאוד. תודה רבה.

תשובה מאוד חלקית

אני לא מבין גדול בנושא הזה שרק אתמול קיבלנו את התרגול עליו, ואני מאוד מפחד להטעות אותך. מה שכן, בתחילת העמוד יש תשובה שתענה לך על השאלה בנוגע ל-[math]\displaystyle{ f(0) }[/math]

תשובה (אולי פחות חלקית)

באשר לשאלה 2, לא נתונה לך פונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] שאתה פשוט צריך להוכיח שהיא פונקציה. אתה צריך לתת פונקציה ולהראות שהיא חח"ע. לרוב, כשמגדירים פונקציה, אז דואגים שהיא תהייה פונקציה, למשל נותנים לכל איבר במקור איבר אחד בטווח. ברגע שתגדיר את הפונקציה, אז יותר חשוב משתוכיח לנו שהיא פונקציה, חשוב שתוכיח שהיא חח"ע. יש?

באשר לשאלה 3א, מעולם לא שמעתי שהערך המוחלט של אפס לא מוגדר. הערך המוחלט של אפס הוא אפס ותו לא. אין שם אף פונקציה שהיא איננה פונקציה. כעיקרון תיתכן פונקציה בשאלה הזו שניתן לכם והיא לא תהיה על, לא חח"ע וכיוצא בכך לא הפיכה, אך אינני מבטיח שזה המצב. Adam Chapman 01:52, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה.

בקשר ל-0 התכוונתי שהפונקציה מוגדרת מהשלמים לטבעיים ו-0 לא שייך לטבעיים, או שאולי בשאלה הזו הכוונה היא שהוא כן שייך?

ובקשר לפונקציה בין יחסים. גם המרצה וגם המתרגלת שלנו לא עברו איתנו על זה ואני לא מבין איך אפשר לפתור את שאלה 3. אז אפשר הסבר קצר?

שמע, ישנן שתי אסכולות בנוגע למספרים טבעיים. אחת גורסת כי אפס הוא טבעי (ומתבססת על כך שבבנייה הגנרית של מספרים טבעיים משתמשים באפס) והשניה גורסת כי אפס לא טבעי (ומתבססת על כך שבמשך מאות שנים אנשים חכמים מאוד, כמו היוונים העתיקים, עשו חישובים מסובכים בלי להכיר בכלל את המספר אפס, שהגיע לאירופה עם הערבים בסוף האלף הראשון לספירה). אני לא יודע מי כתב את השאלה במקור, אך הוא כנראה כלל את אפס כמספר טבעי.

בקשר לפונקציות "בין יחסים", אתה כנראה מדבר על הפונקציה [math]\displaystyle{ g: A \rightarrow A \times B }[/math]. אין משהו מיוחד ללמוד פה, זו סתם פונקציה שהמקור שלה זו הקבוצה [math]\displaystyle{ A }[/math] והטווח זו הקבוצה [math]\displaystyle{ A \times B }[/math]. אין חשיבות לעובדה ש [math]\displaystyle{ A \times B }[/math] זה גם יחס. תנסה כתרגיל לבחור [math]\displaystyle{ A }[/math] ו[math]\displaystyle{ B }[/math] ופונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] כנ"ל תחילה ואז תתקדם לנסות להוכיח את מה שאתה מתבקש.

באשר לשאלה 3, ראשית כדאי שתוודא עם עצמך אם אתה יודע מה זו פונקצייה על ומה זו פונקצייה חח"ע. אם אתה רוצה לבדוק אם פונקצייה היא על אתה צריך לבדוק אם לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא אכן על אז תראה כי אכן לכל איבר בטווח יש מקור. אם החלטת שהיא איננה על אז תראה שקיים איבר בטווח שאין לו מקור. אם אתה רוצה לוהכיח שפונקצייה היא חח"ע אתה צריך להראות שאם שני מקורות הולכים לאותה תמונה אז המקורות שווים. אם החלטת שהפונקצייה איננה חח"ע אתה צריך לתת דוגמא לשני מקורות שונים שהולכים לאותה תמונה. Adam Chapman 00:01, 5 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה רבה!

אותה שאלה

לא ענו לי קודם, כנראה כי לא ראו או משהו, וזה נרוא חשוב, אז אני שואל את זה שוב.

נקח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נתון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על . השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על , בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

לפי דעית לא, כי זה נובע ישירות מדרך ההגדרה של G.

תשובה

נדמה לי שהבנתי את כוונתך. באשר שאלה האם צריך להראות ש[math]\displaystyle{ G }[/math] הוא יחס על [math]\displaystyle{ A \times B }[/math], דהיינו להראות [math]\displaystyle{ G \subseteq (A \times B) \times (A \times B) }[/math], התשובה היא לא, אין צורך. Adam Chapman 01:44, 4 באוגוסט 2010 (IDT)

הודעה לקראת הבוחן

(זה אומנם לא הדף הנכון לשים בו את ההודעה הזו, אך יש יותר סיכוי שיקראו אותה אם היא תופיע גם בדף הזה)

1) הבוחן מחר (4/8/2010) יתקיים בשעה 12:30 לאחר תרגול של חצי שעה.

2) הבוחן יכלול שלוש שאלות שעל כולן יש לענות (לא שתיים מתוך שלוש כפי שחשבתי תחילה שיהיה).

3) אורך הבוחן יהיה שעה.

4) לתלמידים שיש להם אישור מטעם האוניברסיטה על הארכת זמן תינתנה 15 דקות נוספות.

5) תלמידים עם הארכות זמן ייבחנו בחדר 103 בשעה הנקובה למעלה, גם אם הם לומדים לפני כן בכיתה אחרת. Adam Chapman 20:42, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

הוכחה שפונקציה היא על

איך מוכיחים שפונקציה היא על (כמו בשאלה 3א' בתרגיל 3)? חיפשתי דוגמאות להוכחות כאלה מההרצאות, אבל כשהמרצה הוכיח שפונקציה כלשהי היא על הוא תמיד (בדוגמאות שמצאתי) השתמש בכך שפונקציה אחרת (g) היא על וככה הוכיח שיש a ששייך לA כך ש f(a) = b. איך מוכיחים שפונקציה היא על כש"ברור" שהיא על, כמו בשאלה 3א'? תודה רבה מראש.

ראה תשובה לשאלה הקודמתAdam Chapman 18:55, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

שאלה כללית

מה הדרך הנכונה ביותר להוכיח שפונקציה מסוימת היא פונקציה על?

תשובה

אם ברצונך להראות כי [math]\displaystyle{ f: A \rightarrow B }[/math] הינה פונקציית על, אתה צריך להראות כי לכל איבר [math]\displaystyle{ b \in B }[/math] יש מקור [math]\displaystyle{ a \in A }[/math]. לעיתים יש נוסחה לאיבר כללי ב[math]\displaystyle{ B }[/math] ואז ניתן לפתח נוסחה למקור של כל איבר כזה, למשל אם [math]\displaystyle{ f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ f(z)=z+1 }[/math], אזי לכל [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{b} }[/math] יש מקור [math]\displaystyle{ b-1 }[/math]. Adam Chapman 18:54, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה

האם צריך להוכיח משהו לגבי הנוסחה למקור? מה צריך להוכיח לגביה?

שתי שאלות

1. אם מבקשים ממני להוכיח ש-R הוא יחס שקילות ל-A, האם עלי להוכיח בראש ובראשונה ש-R יחס על A (בעיקר משאלות 9,6 מתרגיל 9), או שזה מובן מאליו?

2. אם מבקשים ממני למצוא את F הרכבה G, וזה לא קיים, האם התשובה היא קבוצה ריקה או שזה פשוט לא מוגדר (זכור לי משהו כזה מהשיעורים)? והאם יש הבדל בתשובה בין יחסים לבין פונקציות?

תודה רבה.

תשובה

1. יחס שקילות הוא תמיד על [math]\displaystyle{ A }[/math], דהיינו מ[math]\displaystyle{ A }[/math] ל[math]\displaystyle{ A }[/math] כלשהו. אני לא כל כך מבין למה את\ה מתכוון\ת ב"[math]\displaystyle{ R }[/math] יחס שקילות ל[math]\displaystyle{ A }[/math].

2. ייתכן כי הרכבת יחסים תיתן את היחס הריק. עבור פונקציות [math]\displaystyle{ g \circ f }[/math] הדבר איננו אפשרי, אלא אם התחום של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא ריק. Adam Chapman 18:59, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

בקשר ל-1: קח לדוגמא את שאלה 6 בתרגיל 2. נותון לי יחס G מסויים ומבקשים ממני להוכיח שהוא יחס שקילות על [math]\displaystyle{ AxB }[/math]. השאלה שלי היא: האם צריך קודם להוכיח ש-G הוא יחס על על [math]\displaystyle{ AxB }[/math], בלי לענות עוד על השאלה אם הוא שקילות או לא.

שאלה על הגדרת הפונקציה

כדי להוכיח שf היא פו' יש להוכיח שמתקיימים בה 2 דברים, חד ערכיות, ו"שלמות", נכון? שלמות זה אומר שאם f היא מA לB אז לכל a ששייך לA יש b בB כך ש f(a)=b נכון? תודה.

אני לא מתרגל אבל אני חושב שאם תכניס את המילים "אחד ויחיד" למשפט שאמרת אז תקבל שלמות וגם חד-ערכיות

כל הדרכים (שאין בהן טעות) מובילות לרומא. Adam Chapman 19:01, 3 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה על פונקציה חח"ע

אם אני רוצה להוכיח שקיימת פונקציה חח"ע מA לB, מספיק להראות שמספר האיברים בA קטן או שווה למספר האיברים בB? [ואז ניתן ליצור פונקציה שתשלח כל איבר של A לאיבר אחר של B] או שעלי ממש להציג פונקציה שכזו?

אני חושב שבשאלה שצריך להראות שקיימת פו' חח"ע צריך להראות פונקציה כזאת.

לקבוצה של שני-הרכבת יחסים

הרכבת יחסית מוגדרת כפי שחלקכם אמרתם, הפוך ממה שאמרתי. ההגדרה: [math]\displaystyle{ R \subseteq A\times B \and S \subseteq B\times C }[/math] אזי [math]\displaystyle{ (a,c)\in S \circ R \iff \exist b \in B :(a,b) \in R \and (b,c) \in S }[/math]

(שני)

שאלה לגבי הבוחן

האם הבוחן יכלול גם פונקציות כמו [math]\displaystyle{ g:A-\gt AxB }[/math] ? (איברים שהם זוג סדור)

שאלה 7

כשאני נותן דוגמה נגדית האם עליי להסביר מדוע היחסים R ו-S שבחרתי הם אכן יחסי שקילות או מספיק שאני אבחר יחס שהוא אכן יח"ש (ולא אסביר מדוע הוא כזה)? גל.

---> אם היחסים שמצאת לא מסובכים מדי, אין צורך להוכיח שהם אכן יח"ש. (גרישה אושרוביץ')

A^2 יח"ש

צריך להוכיח בתרגילים ובמבחנים ש-[math]\displaystyle{ A^2 }[/math] הוא יח"ש על A, או שזה נחשב טריוויאלי? תודה, -אור שחף, שיחה, 21:15, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

אלא אם תתבקשו להוכיח שזה יח"ש, אתה יכול להתייחס לזה כעובדה. זה די טריוויאליAdam Chapman 22:06, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה 3א בתרגיל 3

נאמר שf היא פונקציה מ-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] ל-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], אבל 0 אינו איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] (אבל איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]) ולכן ערכו המוחלט הוא אפס (ששוב, אינו איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]). במקרה זה f אינו פונקציה ולכן בוודאי שלא מקיים אף אחד מהשלושה. לכן יש לי תחושה שקיימת טעות בסעיף זה, או שפשוט התכוונתם לגירסה הפחות רווחת לפיה גם אפס הוא איבר ב-[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]. אשמח לתשובה מאחד המתרגלים.

בתורת הקבוצות דווקא יותר נפוץ ש-0 הוא כן טבעי (כך מתקיים, למשל, שעוצמת כל קבוצה סופית היא מספר טבעי). -אור שחף, שיחה, 21:55, 2 באוגוסט 2010 (IDT)

עם זאת בשאר ענפי המתמטיקה הנטייה היא לא לכלול את אפס, ובדר"כ כאשר המרצה (שי) מעוניין להבהיר שהוא מעוניין להתכוון גם לאפס אז הוא רושם [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] חיתוך עם {0}. אני אסתמך על כך בתשובה, עם הערה לפיה f פונקציה אם"ם 0 מצוי בטבעיים.

שאלה על תרגיל שלוש, שאלה 1 סעיף ד.

האם הכוונה בz5 היא המודולו?

אכן.

הבוחן- אני אשמח שרק מתרגל יענה על השאלה

האם החומר בבוחן הוא לפי מה שהגענו בתרגול או בהרצאה?

אני לא מתרגל אבל היום בתגבור נאמר שהחומר כולל:

• • קבוצות
  • יחסים
  • פונקציות

כלומר כל מה שלמדנו עד לעוצמות (לא כולל)

-אבל לפי התרגול או ההרצאה?

הגענו לחומרים האלה גם בתרגול וגם בהרצאה, ובשתיהן למדנו אותו דבר (לפחות אצלי בקבוצה של שי ושני).

---> הבוחן יכלול נושאים הבאים: קבוצות, יחסים ופונקציות. נושאים אלה הועברו הן בהרצאות הן בתרגולים. (גרישה אושרוביץ')