קוד:אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)

\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים} \begin{thm} \begin{enumerate} \item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )

\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \lim_{n\to \infty} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-0 אם הוא 0.

\item

$\lim_{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{1}{x_n}=0 $. גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:

$3.1$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $

$3.2$. $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $

\end{enumerate} \end{thm}

\begin{proof} \begin{enumerate} \item יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $$ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $$ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $$ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $$

\item נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:

יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $$ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $$ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $$ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $$

\item יהי $ \epsilon>0 $. מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $$ אבל $$\frac{1}{\epsilon}<|x_n|\Leftrightarrow \frac{1}{|x_n|}<\epsilon $$ וקיבלנו את הדרוש כי $$\forall_{n>n_0}:|\frac{1}{x_n}|<\epsilon $$

$3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $. \end{enumerate} \end{proof}

\subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:} יהיו $x_n,y_n$ \begin{enumerate} \item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ )

\item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty\cdot 0 $ )

\item אם שתי הסדרות שואפות ל-0 אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\frac{0}{0} $ ) \end{enumerate}

\begin{example}

כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 1 אבל בכל זוג הגבול של הסכום שונה (ולפעמים לא קיים):

$x_n=n, y_n=1-n$

$x_n=n^2, y_n=2-n^2 $

$x_n=n^2 , y_n=-n $

$ x_n=n , y_n=-n^2 $

$ x_n=n , y_n=(-1)^n - n $

\end{example}

\begin{example} כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 2 אבל בכל זוג הגבול של המכפלה שונה (ולפעמים לא קיים):

$x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n}\\ x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\\ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} $ \end{example}

\begin{example} אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $) \end{example}

\underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?

\underline{פתרון:} $$ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$