הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:היחס בין הריבויים של ערך עצמי"
(יצירת דף עם התוכן "כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר. | כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר. | ||
− | \ | + | \begin{thm} |
לכל $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$, מתקיים $1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n$. | לכל $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$, מתקיים $1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n$. | ||
− | \ | + | \end{thm} |
− | + | \begin{proof} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | אם כן, המטריצה $A$ הינה מהצורה $A=\left ( \begin{ | + | נתבונן ב-$V_\lambda\left(T \right )$, ונסמן $m=m_\lambda=\dim V_\lambda\left(T \right )$. נבחר בסיס $\left \{ v_1,\dots,v_m \right \}$ של $V_\lambda\left(T \right )$. אם $m<n$, נשלים את הבסיס הזה לבסיס $B$ של $V$: $\left \{ v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n \right \}$. תהי $A=\left[T\right]_B$. מתקיים: |
− | + | $$T\left(v_1\right)=\lambda v_1,\cdots,T\left(v_m \right )=\lambda v_m,T\left(v_m+1 \right )=?,\cdots,T\left(v_n \right )=?$$ | |
+ | אם כן, המטריצה $A$ הינה מהצורה | ||
+ | $$A=\left( | ||
+ | \begin{array}{c|c} | ||
+ | \begin{matrix} | ||
\lambda & & 0\\ | \lambda & & 0\\ | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
0 & & \lambda | 0 & & \lambda | ||
− | \end{matrix} | + | \end{matrix} & A_2\\ \hline |
− | + | 0 & A_1 | |
− | A_2\ | + | \end{array}\right)$$ |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
נסתכל על הפולינום האופייני של $T$: | נסתכל על הפולינום האופייני של $T$: | ||
− | + | $$p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\det\left( | |
− | $p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A \right )=\det\left ( \begin{ | + | \begin{array}{c|c} |
− | + | \begin{matrix} | |
x-\lambda & & 0\\ | x-\lambda & & 0\\ | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
0 & & x-\lambda | 0 & & x-\lambda | ||
− | \end{matrix} | + | \end{matrix} & -A_2\\ \hline |
− | + | 0 & xI-A_1 | |
− | -A_2\ | + | \end{array}\right)=$$ |
− | + | $$=\det\left( \begin{matrix} | |
− | + | x-\lambda & & 0\\ | |
− | + | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | |
− | \det\left(\begin{matrix} | + | |
− | x-\lambda & &0 \\ | + | |
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
− | 0 & &x-\lambda | + | 0 & & x-\lambda |
− | \end{matrix} \right )\det\left( | + | \end{matrix}\right )\det\left(xI-A \right )=\left(x-\lambda \right )^mg\left(x \right )$$ |
− | + | ||
אם כן, $k_\lambda\ge m=m_\lambda$. | אם כן, $k_\lambda\ge m=m_\lambda$. | ||
− | \ | + | \end{proof} |
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
יש מקרים שבהם $m_\lambda<k_\lambda$. למשל - בלוק ז'ורדן; עבור $J_n\left(\lambda\right)$, ראינו כי $m_\lambda=1$, אבל $k_\lambda=n$. | יש מקרים שבהם $m_\lambda<k_\lambda$. למשל - בלוק ז'ורדן; עבור $J_n\left(\lambda\right)$, ראינו כי $m_\lambda=1$, אבל $k_\lambda=n$. | ||
+ | |||
+ | \end{remark} | ||
בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה. | בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה. |
גרסה מ־13:33, 2 בספטמבר 2014
כעת ננסה להבין מה היחס בין הריבויים של ע"ע, האלגברי והגיאומטרי. הכוונה - האם הם שווים, ואם לא - מי גדול יותר.
\begin{thm}
לכל $\lambda\in\mathbb{F}$ ע"ע של אופרטור לינארי $T:V\rightarrow V$, מתקיים $1\leq m_\lambda\leq k_\lambda\leq n$.
\end{thm}
\begin{proof}
נתבונן ב-$V_\lambda\left(T \right )$, ונסמן $m=m_\lambda=\dim V_\lambda\left(T \right )$. נבחר בסיס $\left \{ v_1,\dots,v_m \right \}$ של $V_\lambda\left(T \right )$. אם $m<n$, נשלים את הבסיס הזה לבסיס $B$ של $V$: $\left \{ v_1,\dots,v_m,v_{m+1},\dots,v_n \right \}$. תהי $A=\left[T\right]_B$. מתקיים: $$T\left(v_1\right)=\lambda v_1,\cdots,T\left(v_m \right )=\lambda v_m,T\left(v_m+1 \right )=?,\cdots,T\left(v_n \right )=?$$ אם כן, המטריצה $A$ הינה מהצורה $$A=\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \lambda & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \lambda \end{matrix} & A_2\\ \hline 0 & A_1 \end{array}\right)$$
נסתכל על הפולינום האופייני של $T$: $$p_T\left(x \right )=p_A\left(x \right )=\det\left(xI-A\right)=\det\left( \begin{array}{c|c} \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & x-\lambda \end{matrix} & -A_2\\ \hline 0 & xI-A_1 \end{array}\right)=$$ $$=\det\left( \begin{matrix} x-\lambda & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & x-\lambda \end{matrix}\right )\det\left(xI-A \right )=\left(x-\lambda \right )^mg\left(x \right )$$ אם כן, $k_\lambda\ge m=m_\lambda$.
\end{proof}
\begin{remark}
יש מקרים שבהם $m_\lambda<k_\lambda$. למשל - בלוק ז'ורדן; עבור $J_n\left(\lambda\right)$, ראינו כי $m_\lambda=1$, אבל $k_\lambda=n$.
\end{remark}
בהמשך ננסה להבין מתי לכל ע"ע הריבויים שווים, ונגלה כי הם שווים אם ורק אם המטריצה לכסינה.