הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:המרחק המושרה מנורמה"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "\begin{remark} המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא $\rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$. \end{remark} \begin{proof} נוכיח שז...") |
|||
| שורה 19: | שורה 19: | ||
\item\underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $x,y,z\in V$, | \item\underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $x,y,z\in V$, | ||
| − | $\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$ | + | $$\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$$ |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה מ־08:09, 26 באוגוסט 2014
\begin{remark}
המרחק המושרה על ידי הנורמה הוא $\rho\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|$.
\end{remark}
\begin{proof}
נוכיח שזה אכן מרחק.
\begin{enumerate}
\item\underline{אי-שליליות} - נובע ישירות מהאקסיומה הראשונה של נורמה.
\item\underline{סימטריות} - לכל $x,y\in V$,
$\rho\left(x,y \right )=\left\|x-y\right\|=\left \| \left ( -1 \right )\left(y-x \right ) \right \|=\left|-1\right|\left \| y-x \right \|=\rho\left(y,x \right )$
\item\underline{אי-שוויון המשולש} - לכל $x,y,z\in V$,
$$\rho\left(x,z \right )=\left \| x-z \right \|=\left \| \left(x-y \right )+\left(y-z \right ) \right \|\leq\left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|=\rho\left(x,y\right)+\rho\left(y,z \right )$$
\end{enumerate}
\end{proof}
