קוד:כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה מסדר גבוה

\begin{thm} נניח $u,v \in D^n (a,b) $ אזי $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)} $ \end{thm}

\begin{proof} נוכיח באינדוקציה. עבור $n=1 $ ראינו ש- $(uv)'=u'v+uv' $

נניח נכונות הטענה עבור $n$ כללי ונוכיח עבור $n+1 $ :

$$ (uv)^{(n+1)}=\left((uv)^{(n)}\right)'=\left (\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)}\right )'= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(u^{(k)}v^{(n-k)}\right)'=$$

$$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(u^{(k+1)}v^{(n-k)}+u^{(k)}v^{(n-k+1)}\right) = \sum_{k=0}^{n+1} c_k u^{(k)} v^{(n+1-k)} $$

כאשר

$$c_k=\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}=\frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!} + \frac{n!}{(n-k)!k!} =$$ $$ \frac{k\cdot n!+ (n-k+1)\cdot n!}{k! (n-k+1)!} = \frac{(n+1)\cdot n!}{k! (n+1-k)!} = \binom{n+1}{k} $$

קיבלנו את הדרוש

\end{proof}