קוד:מבחן לייבניץ להתכנסות טורים

\begin{thm} יהי $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n $ כאשר $c_n$ חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס. \end{thm}

\begin{proof} נסתכל על הסס"ח $S_n$. מתקיים ש- $S_{2m+2}=S_{2m}+c_{2m+1}-c_{2m+2} $ ומשום ש- $c_n \searrow 0 $ נקבל ש- $S_{2m+2}\geq S_{2m} $ ומכאן ש- $S_{2n} $ סדרה מונו' עולה. בנוסף לכל $n$ מתקיים ש- $$S_{2n}=c_1-c_2+c_3-c_4+\cdots -s = c_1-(c_2-c_3)-\cdots -(c_{2m-2}-c_{2m-1})-c_{2m} \leq c_1 $$ כי כל אחד מהאיברים בסוגריים הוא אי שלילי (הסדרה $c_n$ מונו' יורדת). מכאן ש- $S_{2n}$ מונו' עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. באותו אופן אפשר להראות על האי זוגיים שהם מתכנסים לאותו גבול. כיוון ש- $a_n\to L \Leftrightarrow a_{2n} \to L \land a_{2n-1} \to L $, הטור מתכנס. \end{proof}

\begin{example} הטור $1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $ מתכנס לפי מבחן לייבניץ (הטור הזה נקרא טור לייבניץ) אבל לא מתכנס בהחלט משום שטור הערכים המוחלטים של הסדרה המתאימה זהו הטור ההרמוני. \end{example}