קוד:סדרות מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "\underline{הגדרה:} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש...")
 
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
\underline{הגדרה:} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$. באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $
\begin{definition}
אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\
באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $
\end{definition}


$\\$
\begin{thm}
\underline{משפט:} תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$.
תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$.
\end{thm}


\underline{הוכחה:} נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום,
\begin{proof}
נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום,
$\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$
$\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$
וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $ ואז $x_n\to M$. אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.
וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה,
$$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$
ואז $x_n\to M$.\\
אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.
 
\end{proof}

גרסה מ־15:50, 3 בספטמבר 2014

\begin{definition} אומרים שסדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ "עולה מונוטונית" אם $\forall n : x_n\leq x_{n+1} $, במקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \nearrow$.\\ באופן דומה "יורדת מונוטונית" תהיה סדרה בה $\forall n : x_n\geq x_{n+1} $ ובמקרה כזה יש כאלה שמסמנים $x_n \searrow $ \end{definition}

\begin{thm} תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $\sup x_n = M , \inf x_n = m$. אם $x_n \nearrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $M$ ואם $x_n \searrow$ אז הסדרה מתכנסת ל- $m$. \end{thm}

\begin{proof} נוכיח עבור סדרה מונוטונית עולה, ועבור מונוטונית יורדת ההוכחה אנלוגית. אם $M\in\mathbb{R}$ אז יהי $\epsilon>0 $ לפי תכונה של סופרימום, $\exists n_0 : x_{n_0}>M-\epsilon$ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $$\forall n>n_0 : M-\epsilon<x_{n_0}\leq x_n\leq M<M+\epsilon $$ ואז $x_n\to M$.\\ אם $M=\infty$ אז יהי $E\in\mathbb{R}$. מההגדרה של חסם עליון אינסופי, $\exists n_0 : x_{n_0}>E $ וכיוון שזו סדרה מונוטונית עולה, $\forall n>n_0 : E<x_{n_0}\leq x_n$ ואז $x_n\to \infty=M$.

\end{proof}